Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Limes i konvergentni niz

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Limes i konvergentni niz

Postod bithahfag » Ponedeljak, 16. April 2018, 20:35

Pozdrav,
Mnogo bi mi značilo ukoliko bi neko pogledao sledeći zadatak:

Neka je [inlmath]c<4[/inlmath] pozitivna konstanta i
[dispmath]c_n=\sqrt[n^2]{\left(4^1-c^1\right)\cdot\left(4^2-c^2\right)\cdots\left(4^n-c^n\right)},[/dispmath] za svako [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath].
Dokazati da je niz [inlmath]\left\{c_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/inlmath] konvergentan i da konvergira celom broju (ima celobrojni limes).

Moja ideja za drugi deo zadatka (da li konvergira celom broju) bila je da upotrebim to što je (donekle) poznata sledeća teorema:
Neka je [inlmath]a_n>0,\;\forall n\in\mathbb{N}[/inlmath]
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\alpha,[/dispmath] tada je i
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\alpha[/dispmath] Sada ako stavimo da je [inlmath]a_n=\left(4^1-c^1\right)\cdot\left(4^2-c^2\right)\cdots\left(4^n-c^n\right)[/inlmath] i ubacimo to u teoremu dobijamo:
[dispmath]\alpha=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(4^1-c^1\right)\cdot\left(4^2-c^2\right)\cdots\left(4^n-c^n\right)\cdot\left(4^{n+1}-c^{n+1}\right)}{\left(4^1-c^1\right)\cdot\left(4^2-c^2\right)\cdots\left(4^n-c^n\right)}=[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\cancel{\left(4^1-c^1\right)}\cdot\cancel{\left(4^2-c^2\right)}\cdots\cancel{\left(4^n-c^n\right)}\cdot\left(4^{n+1}-c^{n+1}\right)}{\cancel{\left(4^1-c^1\right)}\cdot\cancel{\left(4^2-c^2\right)}\cdots\cancel{\left(4^n-c^n\right)}}=[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(4^{n+1}-c^{n+1}\right)=[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(1-\left(\frac{c}{4}\right)^{n+1}\right)[/dispmath] a kako je [inlmath]c<4[/inlmath] za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] važi [inlmath]\left(\frac{c}{4}\right)^{n+1}\to0[/inlmath] tada je [inlmath]\alpha=1[/inlmath] pa smo time dokazali da je i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1[/inlmath], međutim time nismo ništa dokazali i za [inlmath]\sqrt[n^2]{a_n}[/inlmath]...
Za prvi deo zadatka (provera konvergentnosti) nisam imao ideju :unsure:
Unapred hvala!
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Limes i konvergentni niz

Postod Corba248 » Utorak, 17. April 2018, 12:06

Konvergentnost se najčešće dokazuje iz teoreme koja kaže da ako je niz ograničen i monoton da je onda on i konvergentan. Mislim da je u ovom zadatku dovoljno pronaći sam limes (primi ovo sa rezervom jer zavisi od profesora do profesora). Mislim da bi trebalo da uslov bude [inlmath]0<c<4[/inlmath].
Ono što je ovde zgodno uraditi je logaritmovati opšti član, pa potom dva puta primeniti Štolcovu teoremu. Opšti član niza označimo kao [inlmath]a_n=\sqrt[n^2]{(4^1-c^1)\cdot(4^2-c^2)\cdot\ldots\cdot(4^n-c^n),}[/inlmath]. (Vidim da si ga ti označio sa [inlmath]c_n[/inlmath], ali smo [inlmath]c[/inlmath] već iskoristili, pa da ne bude zabune.) Potom imamo da je [dispmath]\ln a_n=\frac{\ln\left[(4^1-c^1)\cdot(4^2-c^2)\cdot\ldots\cdot(4^n-c^n)\right]}{n^2}[/dispmath]
Ukoliko ovaj proizvod napišemo kao zbir logaritama dobijamo [dispmath]\frac{\ln(4^1-c^1)+\ln(4^2-c^2)+\cdots +\ln(4^n-c^n)}{n^2}[/dispmath]
Sad ubacujemo limes [dispmath]\ln\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln(4^1-c^1)+\ln(4^2-c^2)+\cdots +\ln(4^n-c^n)}{n^2}[/dispmath]
Kako je [inlmath]n^2[/inlmath] monotono rastući niz sa graničnom vrednošću [inlmath]+\infty[/inlmath] možemo primeniti Štolocovu teoremu i dobijamo [dispmath]\ln\lim\limits_{n\to\infty} a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln(4^1-c^1)+\ln(4^2-c^2)+\cdots +\ln(4^n-c^n)+\ln(4^{n+1}-c^{n+1})-\ln(4^1-c^1)-\ln(4^2-c^2)-\cdots -\ln(4^n-c^n)}{(n+1)^2-n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln(4^{n+1}-c^{n+1})}{2n+1}[/dispmath]
Opet iz sličnih razloga možemo primeniti Štolcovu teoremu:
[dispmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln\frac{4^{n+2}-c^{n+2}}{4^{n+1}-c^{n+1}}}{2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\ln\frac{4^{n+1}\left(4-\left(\frac{c}{4}\right)^{n+1}c\right)}{4^{n+1}\left(1-\left(\frac{c}{4}\right)^{n+1}\right)}}{2}=\ln2\Longrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}a_n=2[/dispmath]
Moderator
 
Postovi: 228
Zahvalio se: 30 puta
Pohvaljen: 257 puta

Re: Limes i konvergentni niz

Postod bithahfag » Utorak, 17. April 2018, 12:43

Mnogo ti hvala! :D
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Limes i konvergentni niz

Postod Daniel » Četvrtak, 19. April 2018, 12:12

Evo i načina preko „sendvič“-teoreme:

Radi lakšeg zapisa, predstavio bih potkorenu veličinu preko proizvoda,
[dispmath]a_n=\sqrt[n^2]{\prod_{i=1}^n\left(4^i-c^i\right)}\\
a_n=\sqrt[n^2]{\prod_{i=1}^n4^i\left(1-\left(\frac{c}{4}\right)^i\right)}\\[/dispmath] [inlmath]\prod\limits_{i=1}^n4^i[/inlmath] se može napisati kao [inlmath]4^{\sum\limits_{i=1}^ni}[/inlmath], tj. u eksponentu imamo sumu aritmetičkog niza, i to je jednako [inlmath]4^\frac{n(n+1)}{2}[/inlmath]. Kad to izađe ispred [inlmath]n^2[/inlmath]-og korena, postaje [inlmath]4^\frac{n+1}{2n}[/inlmath]:
[dispmath]a_n=4^\frac{n+1}{2n}\cdot\sqrt[n^2]{\prod_{i=1}^n\left(1-\left(\frac{c}{4}\right)^i\right)}[/dispmath] Sad teramo [inlmath]n[/inlmath] do beskonačnosti. Prvi činilac, [inlmath]4^\frac{n+1}{2n}[/inlmath], težiće dvojci (jer eksponent četvorke teži [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]).
Limes drugog činioca, [inlmath]\sqrt[n^2]{\prod\limits_{i=1}^n\left(1-\left(\frac{c}{4}\right)^i\right)}[/inlmath], možemo odrediti „sendvič“-teoremom. Posmatrajmo nizove [inlmath]b_n=\sqrt[n^2]{\prod\limits_{i=1}^n\left(1-\frac{c}{4}\right)}[/inlmath] i [inlmath]c_n=\sqrt[n^2]{\prod\limits_{i=1}^n1}[/inlmath]. Očigledno je da je opšti član našeg niza manji od opšteg člana [inlmath]c_n[/inlmath], a veći je od opšteg člana [inlmath]b_n[/inlmath] (jer je [inlmath]1-\left(\frac{c}{4}\right)^i=\left(1-\frac{c}{4}\right)\left(1+\frac{c}{4}+\left(\frac{c}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{c}{4}\right)^{i-1}\right)>1-\frac{c}{4}[/inlmath]). Limes niza [inlmath]\{c_n\}[/inlmath] jednak je [inlmath]1[/inlmath] (jer je potkorena veličina jednaka jedinici). Limes niza [inlmath]\{b_n\}[/inlmath] takođe je jednak jedinici:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}b_n=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{\prod_{i=1}^n\left(1-\frac{c}{4}\right)}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{\left(1-\frac{c}{4}\right)^n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1-\frac{c}{4}}=1[/dispmath] (zbog toga što je [inlmath]1-\frac{c}{4}[/inlmath] pozitivna konstanta (iz intervala [inlmath](0,1)[/inlmath]), a [inlmath]n[/inlmath]-ti koren pozitivne konstante teži jedinici).
Na osnovu „sendvič“-teoreme, i limes niza [inlmath]\sqrt[n^2]{\prod\limits_{i=1}^n\left(1-\left(\frac{c}{4}\right)^i\right)}[/inlmath] jednak je jedinici.

Prema tome, limes koji se u ovom zadatku traži jednak je:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}a_n=\underbrace{\lim_{n\to\infty}4^\frac{n+1}{2n}}_2\cdot\underbrace{\lim_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{\prod_{i=1}^n\left(1-\left(\frac{c}{4}\right)^i\right)}}_1=2[/dispmath]
Ovim postupkom se lako može naći limes i za opštiji slučaj, kada umesto četvorke imamo neko pozitivno realno [inlmath]p[/inlmath] (i pri tome je [inlmath]0<c<p[/inlmath]) – tada će limes biti jednak [inlmath]\sqrt p[/inlmath]. Kada je [inlmath]p[/inlmath] kvadrat prirodnog broja (kao što je ovde bio slučaj), tada je i limes prirodan broj.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7006
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3635 puta
Pohvaljen: 3819 puta

Re: Limes i konvergentni niz

Postod bithahfag » Ponedeljak, 23. April 2018, 20:27

Hvala ti, ovo mi je baš pomoglo! :D
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 26. Maj 2018, 11:48 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs