Pozdrav,
Mnogo bi mi značilo ukoliko bi neko pogledao sledeći zadatak:
Neka je [inlmath]c<4[/inlmath] pozitivna konstanta i
[dispmath]c_n=\sqrt[n^2]{\left(4^1-c^1\right)\cdot\left(4^2-c^2\right)\cdots\left(4^n-c^n\right)},[/dispmath] za svako [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath].
Dokazati da je niz [inlmath]\left\{c_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/inlmath] konvergentan i da konvergira celom broju (ima celobrojni limes).
Moja ideja za drugi deo zadatka (da li konvergira celom broju) bila je da upotrebim to što je (donekle) poznata sledeća teorema:
Neka je [inlmath]a_n>0,\;\forall n\in\mathbb{N}[/inlmath]
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\alpha,[/dispmath] tada je i
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\alpha[/dispmath] Sada ako stavimo da je [inlmath]a_n=\left(4^1-c^1\right)\cdot\left(4^2-c^2\right)\cdots\left(4^n-c^n\right)[/inlmath] i ubacimo to u teoremu dobijamo:
[dispmath]\alpha=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(4^1-c^1\right)\cdot\left(4^2-c^2\right)\cdots\left(4^n-c^n\right)\cdot\left(4^{n+1}-c^{n+1}\right)}{\left(4^1-c^1\right)\cdot\left(4^2-c^2\right)\cdots\left(4^n-c^n\right)}=[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\cancel{\left(4^1-c^1\right)}\cdot\cancel{\left(4^2-c^2\right)}\cdots\cancel{\left(4^n-c^n\right)}\cdot\left(4^{n+1}-c^{n+1}\right)}{\cancel{\left(4^1-c^1\right)}\cdot\cancel{\left(4^2-c^2\right)}\cdots\cancel{\left(4^n-c^n\right)}}=[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(4^{n+1}-c^{n+1}\right)=[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(1-\left(\frac{c}{4}\right)^{n+1}\right)[/dispmath] a kako je [inlmath]c<4[/inlmath] za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] važi [inlmath]\left(\frac{c}{4}\right)^{n+1}\to0[/inlmath] tada je [inlmath]\alpha=1[/inlmath] pa smo time dokazali da je i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1[/inlmath], međutim time nismo ništa dokazali i za [inlmath]\sqrt[n^2]{a_n}[/inlmath]...
Za prvi deo zadatka (provera konvergentnosti) nisam imao ideju
Unapred hvala!