Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Limes sa ispita

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Limes sa ispita

Postod Šatra s Kvake » Četvrtak, 15. Avgust 2019, 22:43

Pozdrav. Ovaj zadatak mi je bio na ispitu. Pokušao sam preko Štolcove teoreme, ali nisam siguran da li ona pomaže kod ovog zadatka.
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1+\sqrt2+\sqrt[3]3+\cdots+\sqrt[n]n}{n}\right)^{\Large\frac{n}{\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^2}}[/dispmath]
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Limes sa ispita

Postod Onomatopeja » Sreda, 04. Septembar 2019, 18:29

Primenom Stolcove leme se moze videti da izraz pod prvom zagradom tezi jedinici, dok kako se [inlmath]1+\frac12+\cdots+\frac1n[/inlmath] ponasa kao [inlmath]\ln n[/inlmath] kad [inlmath]n\to\infty[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{\ln^2 n}=\infty,[/inlmath] ovo je limes oblika [inlmath]1^\infty,[/inlmath] odnosno radi se namestanjem na broj [inlmath]e[/inlmath]. Kada se to uradi dobija se da je resenje [inlmath]e^L,[/inlmath] gde je [inlmath]\displaystyle L=\lim_{n\to\infty} \frac{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt[n]{n} - n}{{(1+\frac12+\cdots+\frac1n)}^2},[/inlmath] a s obzirom kako se ponasa imenilac dovoljno je racunati [inlmath]\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt[n]{n} - n}{\ln^2 n}.[/inlmath] Ako ponovo primenom Stolcovu lemu (za sta su ispunjeni uslovi) dobijamo [inlmath]\displaystyle L=\lim_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n+1]{n+1}-1}{\ln^2 (n+1)-\ln^2 n}.[/inlmath] I sada iskoristimo malo asimptotskog ponasanja (pri [inlmath]n\to\infty[/inlmath]) [dispmath]\frac{\sqrt[n+1]{n+1}-1}{\ln^2 (n+1)-\ln^2 n} = \frac{e^{\frac{1}{n+1}\ln(n+1)}-1}{(\ln (n+1)-\ln n)(\ln(n+1)+\ln n)} \sim \frac{\frac{\ln(n+1)}{n+1}}{\ln(1+\frac{1}{n})\ln(n(n+1))} \sim
\frac{\frac{\ln n}{n}}{\frac{1}{n} \ln(n^2)} = \frac{1}{2}.[/dispmath] Dakle, resenje pocetnog limesa je [inlmath]\sqrt{e}.[/inlmath]
 
Postovi: 595
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 563 puta

Re: Limes sa ispita

Postod Šatra s Kvake » Subota, 21. Septembar 2019, 18:25

Do dijela gdje koristiš ponašanje limesa lijepo objašnjeno, a kasnije sam uradio na neki drugi način, ne koristeći ponašanje limesa, ali u svakom slučaju hvala, Onomatopeja.
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 22. Septembar 2019, 22:34 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs