Stranica 1 od 1

Limes inferior i superior niza

PostPoslato: Utorak, 30. Jun 2015, 22:05
od display_error
Potrebna mi je pomoć oko sledećeg zadatka:
Dat je niz
[dispmath]x_n=1-n\sin\frac{n\pi}{4}[/dispmath]
Odrediti limes inferior i limes superior niza [inlmath]x_n[/inlmath]

Probao sam da iz granične vrednosti niza odredim barem jednu tačku nagomilavanja, međutim, kako [inlmath]x_n\to-\infty[/inlmath] kad [inlmath]n\to+\infty[/inlmath], nije ju moguće odavde odrediti. Ne snalazim se baš sa podnizovima, pa da li može neko u kratkim crtama, u okviru ovog zadatka da mi pojasni kako biramo podnizove, tj. da li postoji neko univerzalno pravilo u izboru podniza? Određivanje tačaka nagomilavanja ovde očito ide preko podnizova.

Hvala.

Re: Limes inferior i superior niza

PostPoslato: Sreda, 01. Jul 2015, 08:46
od Daniel
Prvo, uočiš periodičnost sinusne funkcije:
[dispmath]x_n=1-n\sin\frac{n\pi}{4}=1-n\sin\left(\frac{n\pi}{4}+2k\pi\right)=1-n\sin\frac{n\pi+8k\pi}{4}=1-n\sin\frac{\left(n+8k\right)\pi}{4}[/dispmath]
Zatim razmatraš odvojeno tih osam slučajeva:
[inlmath]\begin{array}{lll}
n=8k & \Rightarrow & x_n=1-n\sin0 & \Rightarrow & x_n=1\\
n=8k+1 & \Rightarrow & x_n=1-n\sin\frac{\pi}{4} & \Rightarrow & x_n=1-n\frac{\sqrt2}{2}\\
n=8k+2 & \Rightarrow & x_n=1-n\sin\frac{\pi}{2} & \Rightarrow & x_n=1-n\\
\vdots\\
n=8k+7 & \Rightarrow & x_n=1-n\sin\frac{7\pi}{4} & \Rightarrow & x_n=1+n\frac{\sqrt2}{2}
\end{array}[/inlmath]

I na osnovu toga uočiš kojih osam podnizova treba formirati.

Takođe, iz toga ćeš uočiti i da niz ima jednu tačku nagomilavanja.

display_error je napisao:Probao sam da iz granične vrednosti niza odredim barem jednu tačku nagomilavanja, međutim, kako [inlmath]x_n\to-\infty[/inlmath] kad [inlmath]n\to+\infty[/inlmath], nije ju moguće odavde odrediti.

Jedna ispravka – kada [inlmath]n\to+\infty[/inlmath], tada samo neki članovi niza teže [inlmath]-\infty[/inlmath], neki teže [inlmath]+\infty[/inlmath], dok će se neki nalaziti u okolini tačke nagomilvanja.

Re: Limes inferior i superior niza

PostPoslato: Subota, 10. Mart 2018, 18:33
od Marex
I kolike su vrednosti za ovaj zadatak i ako može pojašnjenje kako se dolazi do ovih bitnih tačaka?

Re: Limes inferior i superior niza

PostPoslato: Subota, 10. Mart 2018, 19:52
od Daniel
Marex je napisao:I kolike su vrednosti za ovaj zadatak

Za svaki od ovih osam podnizova odrediš njegov limes inferior i njegov limes superior. Najmanji od tih limesa inferiora biće limes inferior datog niza, a najveći od tih limesa superiora biće limes superior datog niza.

Marex je napisao:i ako može pojašnjenje kako se dolazi do ovih bitnih tačaka?

Na osnovu periodičnosti sinusne funkcije, [inlmath]\sin x=\sin(x+2\pi)[/inlmath], nađe se koliki će biti period za [inlmath]n[/inlmath]: [inlmath]\sin\frac{n\pi}{4}=\sin\left(\frac{n\pi}{4}+2\pi\right)=\sin\frac{(n+8)\pi}{4}[/inlmath], iz čega vidimo da period za [inlmath]n[/inlmath] iznosi [inlmath]8[/inlmath], što znači da niz treba podeliti na osam podnizova, tj. razmatrati slučajeve [inlmath]n=8k,n=8k+1,\ldots,n=8k+7[/inlmath].