Klasifikacija tacaka i skupova, tacka nagomilavanja

PostPoslato: Utorak, 09. Februar 2016, 20:03
od Cisra
1. Ako je [inlmath]A=\bigl((0,1)\cap\mathbb{Q}\bigr)\cup\{3,6,7\}\cup(8,9][/inlmath], tada je unutrasnjost skupa [inlmath]=\bigl((0,1)\cap\mathbb{Q}\bigr)\cup(8,9)[/inlmath], adherencija [inlmath]=[0,1]\cup\{3,6,7\}\cup[8,9][/inlmath], rubne tacke [inlmath]=\{0,1,3,6,7,8,9\}[/inlmath], skup izolovanih tacaka [inlmath]=\{3,6,7\}[/inlmath], a skup tacaka nagomilavanja [inlmath]=[0,1]\cup[8,9][/inlmath].

Da li neko moze da mi kaze da li sam dobro resio zadatak?

I da li bi neko mogao da mi objasni ovaj, naslucujem da treba da se radi prema definiciji tacke nagomiljavanja niza:

2. Ako je [inlmath]1[/inlmath] tacka nagomilavanja niza [inlmath]\{a_n\}\subset\mathbb{R}[/inlmath], tada postoji prirodan broj [inlmath]n>50[/inlmath] tako da [inlmath]\{a_n\}\in L\left(1,\frac{1}{2}\right)[/inlmath]

Re: Klasifikacija tacaka i skupova, tacka nagomilavanja

PostPoslato: Sreda, 10. Februar 2016, 15:27
od Onomatopeja
Kada pricamo o ovakvim stvarima, onda je potrebno naglasiti u kom metrickom prostoru radimo i kako je tu metrika zadata (pretpostavljam da ipak radimo sve na nivou metrickih, a ne topoloskih prostora). Ja pretpostavljam da je ovde [inlmath]M=\mathbb{R}[/inlmath], a da je metrika ona standardna nad realnim brojevima zadata sa apsolutnom vrednoscu.

U redu, ako je to zaista tako (a ne znam), onda [inlmath]\text{int }\!\:\!A[/inlmath] (interior od [inlmath]A[/inlmath]) nije dobro odredjen, a time ni skup rubnih tacaka (u oznaci [inlmath]\partial A[/inlmath]). Naime, ako uzmemo proizvoljnu tacku [inlmath]r\in(0,1)\cap\mathbb{Q}[/inlmath] i ako zelimo da [inlmath]r\in\text{int }\!\:\!A[/inlmath], to onda mora postojati [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath] takvo da [inlmath](r-\varepsilon,r+\varepsilon)\subseteq A[/inlmath]. No, takvo epsilon ne postoji, jer koliko god proizvoljno malo da se vrdnemo levo ili desno sa nekim intervalom, taj inverval mora sadrzati i neki iracionalan broj (jer su oni gusti u [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]), te onda za tacku [inlmath]\{r\}[/inlmath] ne postoji okolina koja je sadrzana u [inlmath]A[/inlmath].

Za ovo drugo pitanje nije jasno sta predstavlja [inlmath]L(1,\frac{1}{2})[/inlmath].

Re: Klasifikacija tacaka i skupova, tacka nagomilavanja

PostPoslato: Sreda, 10. Februar 2016, 20:11
od Cisra
Jeste tako je kako si rekao [inlmath]M=\mathbb{R}[/inlmath], a metrika je standardna. Onda koliko sam shvatio unutrasnjost bi bila: [inlmath](8,9)[/inlmath], a skup rubnih tacaka: [inlmath]\{3,6,7,8,9\}[/inlmath]

[inlmath]L(1,\frac{1}{2})[/inlmath]
[inlmath]1[/inlmath] bi bila tacka nagomilavanja, a [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath] predstavlja [inlmath]\varepsilon[/inlmath].
Odnosno otvorena lopta u tacki [inlmath]1[/inlmath] poluprecnika [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]

Re: Klasifikacija tacaka i skupova, tacka nagomilavanja

PostPoslato: Četvrtak, 11. Februar 2016, 12:22
od Onomatopeja
Dobro si odredio unutrasnjost, vec sam ti rekao da je dobro odredjena adherencija skupa, ali nisi dobro odredio skup rubnih tacaka (sto je lako, ako znamo ova dva prethodna skupa).

Za drugi, sam „dokaz“ (pod navodnicima je, jer tu i nema sta puno da se dokazuje) zavisi od toga kako ste definisali tacku nagomilavanja niza. Takodje, trebalo je da napises [inlmath]a_n\in L(1,\frac{1}{2})[/inlmath] (dakle, bez viticastih zagrada).

Inace, ja prvi put vidim da neko tako oznacava otvorenu loptu (jasna mi je asocijacija L kao lopta), jer obicno se koristi [inlmath]B(1,\frac{1}{2})[/inlmath] (B kao ball) ili [inlmath]K(1,\frac{1}{2})[/inlmath] (K kao kugla (dakle, ako vec hocemo po naški onda se obicno ide sa ovom varijantom)) ili [inlmath]D(1,\frac{1}{2})[/inlmath] (D kao disk (disc)).

Re: Klasifikacija tacaka i skupova, tacka nagomilavanja

PostPoslato: Utorak, 13. Novembar 2018, 13:23
od Boba R.
Je li u ovom primjeru unutrašnjost skupa [inlmath](0,1)[/inlmath] ili [inlmath](0,1)\cup(8,9)[/inlmath]?