-
+1
Ovi korisnici su zahvalili autoru
Daniel za post:
miletrans
Reputacija: 4.55%
od Daniel » Subota, 14. Januar 2017, 19:42
OK. Onda odmah, na samom početku, preporučujem smenu [inlmath]3x=t[/inlmath], nakon koje možemo oznaku [inlmath]t[/inlmath] zameniti oznakom [inlmath]x[/inlmath] i dobiti pojednostavljen izraz
[dispmath]\lim_{x\to0}\left(2\sin^2x+\cos x\right)^{1/\ln^2(1-x)}[/dispmath] čisto radi uprošćenog pisanja. E sad bih ovde iskoristio poznati limes [inlmath]\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e[/inlmath], tako što na izraz unutar zagrade dodamo i oduzmemo [inlmath]1[/inlmath], dok eksponent pomnožimo i podelimo odgovarajućim izrazom:
[dispmath]\lim_{x\to0}\left[\left(1+2\sin^2x+\cos x-1\right)^{\Large\frac{1}{2\sin^2x+\cos x-1}}\right]^{\Large\frac{2\sin^2x+\cos x-1}{\ln^2(1-x)}}[/dispmath] i taj limes će, nakon „penjanja“ [inlmath]\lim[/inlmath] u eksponent, biti
[dispmath]e^{\Large\lim\limits_{x\to0}\frac{2\sin^2x+\cos x-1}{\ln^2(1-x)}}[/dispmath] Sada ovaj limes u eksponentu možemo računati na dva načina. Jedan je koristeći već pomenuti Tejlorov razvoj za funkcije [inlmath]\sin x[/inlmath], [inlmath]\cos x[/inlmath] i [inlmath]\ln(1-x)[/inlmath] (uz pretpostavku da vam dopuštaju da koristite gotove formule za razvoj, jer bi u protivnom razvoj morao da se računa preko izvoda, što ne bi bilo dozvoljeno jer je rečeno da se izvodi ne smeju koristiti).
Drugi način je da se [inlmath]\sin^2x[/inlmath] predstavi preko kosinusa, zatim se izvrši faktorizacija, nakon čega se za limes u eksponentu dobije
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{(1+2\cos x)(1-\cos x)}{\ln^2(1-x)}[/dispmath] U brojiocu je faktor [inlmath](1-\cos x)[/inlmath] taj koji teži nuli, tako da je on „problematičan“. Zato pomnožimo i brojilac i imenilac sa [inlmath](1+\cos x)[/inlmath], u brojiocu će [inlmath](1-\cos x)(1+\cos x)[/inlmath] dati kvadrat sinusa, pa zatim podelimo i brojilac i imenilac sa [inlmath]x^2[/inlmath] kako bismo u brojiocu dobili poznati limes [inlmath]\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{(1+2\cos x)\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2}{(1+\cos x)\frac{\ln^2(1-x)}{x^2}}[/dispmath] Odavde je sad sasvim jasno čemu je jednak ovaj limes. Naravno, ne treba na kraju zaboraviti da se ovaj limes nalazi u eksponentu broja [inlmath]e[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain