Prvo da ti ukažem na grešku koju su napravila u svom postupku:
MartinaJuric je napisao:[inlmath]x=-3[/inlmath] Proveravam da li je ovo vertikalna asimptota:
[dispmath]\lim_{x\to-3-0}\frac{x^2-1}{x^2+5x+6}=\frac{(-3-0)^2-1}{(-3-0)^2+5(-3-0)+6}=\frac{9-1}{{\color{red}9}-15-0+6}=\frac{8}{-0}=-\infty[/dispmath]
Znači, [inlmath](-3-0)^2[/inlmath] si jednostavno zamenila sa [inlmath]9[/inlmath], iako je to vrednost „malo veća“ od [inlmath]9[/inlmath] (jer je [inlmath](-3-0)[/inlmath] „malo manje“ od [inlmath]-3[/inlmath], pa kad se kvadrira bude „malo veće“ od [inlmath]9[/inlmath]. E, to što je „malo veće“ može da poništi ono [inlmath]-0[/inlmath] što si dobila u imeniocu, pa i da pređe u plus.
Ako ideš na taj način, pravilan postupak bi bio ovaj (mada ga ne bih preporučio zbog njegove komplikovanosti):
[dispmath]\begin{align}
(-3-0)^2+5(-3-0)+6&=(-3)^2-2(-3)\cdot0+0^2-15-5\cdot0+6\\
&=9+6\cdot0+0^2-15-5\cdot0+6\\
&=(9-15+6)+(6+0-5)\cdot0\\
&=1\cdot0\\
&=0
\end{align}[/dispmath]
a pošto smo ovde nulom označili neku vrlo malu, ali pozitivnu vrednost, ovime smo dobili da će imenilac biti takođe neka vrlo mala, ali pozitivna vrednost, a ceo razlomak pozitivan (jer je i brojilac pozitivan).
Slično i za [inlmath]x\to-3+0[/inlmath].
Ali, kao što rekoh, ne preporučujem ti ovaj način, ali neka ga, nek stoji ovde, kako bi znala zbog čega tvoj postupak nije bio ispravan.
Lakše je ovako: Pošto si već našla nule polinoma u imeniocu, to su [inlmath]x_1=-3[/inlmath] i [inlmath]x_2=-2[/inlmath], onda napišeš imenilac u faktorisanom obliku:
[dispmath]y=\frac{x^2-1}{(x-x_1)(x-x_2)}\\
y=\frac{x^2-1}{(x+3)(x+2)}[/dispmath] I sad je vrlo jednostavno videti kako se ponaša funkcija za [inlmath]x\to-3-0[/inlmath]. Faktori [inlmath]\left(x^2-1\right)[/inlmath] i [inlmath](x+2)[/inlmath] ostaju konačni te nije problem odrediti njihov znak (prvi je pozitivan, drugi je negativan), dok je faktor [inlmath](x+3)[/inlmath] taj koji teži nuli i zbog kojeg funkcija ima vertikalnu asimptotu u tački [inlmath]x=-3[/inlmath]. Kad [inlmath]x[/inlmath] teži trojci s leve strane, faktor [inlmath](x+3)[/inlmath] će težiti nuli s leve strane, što znači da će biti negativan. Pošto, dakle, u razlomku imamo jedan pozitivan i dva negativna faktora, ceo razlomak mora biti pozitivan, a zbog toga što je brojilac konačan a u imeniocu imamo faktor koji teži nuli, sâm razlomak će težiti beskonačnosti. Znači, težiće ka [inlmath]+\infty[/inlmath].
Sad pokušaj isti taj rezon da primeniš na [inlmath]x\to-3+0[/inlmath], na [inlmath]x\to-2-0[/inlmath] i na [inlmath]x\to-2+0[/inlmath].