Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Limesi niza – pomoć oko zadataka

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Limesi niza – pomoć oko zadataka

Postod extremesportist » Nedelja, 29. Januar 2017, 14:17

Pozdrav drugari, dugo nisam svraćao...

Imam problem oko 2 zadatka vezana za granične vrednosti nizova:

1. Zadatak
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2017}{n}\right)^n[/dispmath] Izraz sam prvo rastavio kao limes količnika: [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2017^n}{n^n}=\frac{\lim\limits_{n\to\infty}2017^n}{\lim\limits_{n\to\infty}n^n}[/inlmath]. Sada izraz u brojiocu bi trebalo da bude [inlmath]\infty[/inlmath], jer je osnova veća od [inlmath]-1[/inlmath], ali ne znam šta da radim sa imeniocem.


2. Zadatak
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}\right)[/dispmath] Kod ovog nemam predstavu šta bih uradio.

Hvala unapred!
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 13 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Limesi niza – pomoć oko zadataka

Postod mala_mu » Nedelja, 29. Januar 2017, 16:55

Pozdrav :D

2. Zadatak:

Označimo sa [inlmath]a_n=\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+n}}[/inlmath], uočimo da je
[dispmath]\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le a_n\le\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}[/dispmath] Lako se vidi da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=1[/inlmath],
i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^2}}}=1[/inlmath]

Tako da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=1[/inlmath]

Što se tiče prvog zadatka, možeš ga napisati kao:
[dispmath]\lim\limits_{n\to\infty}\Big(\frac{2017}{n}\Big)^n=e^{\lim\limits_{n\to\infty}n\left(\ln(2017)+\ln\bigl(\frac{1}{n}\bigr)\right)}=0[/dispmath]
Sorry I'm late a black cat blocked my path so I had to take a different way then a dragon came down and blocked my path then I saw an old lady having trouble crossing the street so I helped her then a cat was stuck in a tree and the owners asked me to help then I got lost on the road of life
Korisnikov avatar
mala_mu  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 50
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 23 puta
Pohvaljen: 72 puta

Re: Limesi niza – pomoć oko zadataka

Postod Daniel » Nedelja, 29. Januar 2017, 17:55

Pozdrav, extreme. :)

Prvi zadatak se, po meni, rešava sasvim trivijalno – izraz unutar zagrade, [inlmath]\frac{2017}{n}[/inlmath], teži nuli, a kada se bilo koji izraz koji je blizak nuli stepenuje nekim brojem većim od jedinice (a pogotovo brojem koji teži beskonačnosti), tada se još više približi nuli.
Ili, možda je ovako očiglednije:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2017}{n}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{\frac{n}{2017}}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\left(\frac{n}{2017}\right)^n}[/dispmath] [inlmath]\frac{n}{2017}[/inlmath] teži beskonačnosti, a samim tim i [inlmath]\left(\frac{n}{2017}\right)^n[/inlmath] teži beskonačnosti. A pošto se taj izraz nalazi u imeniocu, vrednost razlomka će težiti nuli.

mala_mu je napisao:[dispmath]\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le a_n\le\frac{n}{\sqrt{n^2+1}}[/dispmath]

Ili, možda, za nijansu jednostavnije: :)
[dispmath]\frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le a_n\le\frac{n}{\sqrt{n^2}}=1[/dispmath] al' to je u principu to isto...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Limesi niza – pomoć oko zadataka

Postod extremesportist » Nedelja, 29. Januar 2017, 17:59

Hvala puno na pomoći :D
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 13 puta


Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 32 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 11:47 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs