Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Limesi sa trigonometrijskim funkcijama

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Limesi sa trigonometrijskim funkcijama

Postod extremesportist » Ponedeljak, 30. Januar 2017, 12:25

Evo još dva (verovatno laka) zadatka koja nisam uspeo da rešim:

1. Zadatak
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\sin2n+\cos2n}{2n}[/dispmath] Što se ovog zadatka tiče, pokušao sam da izraz rastavim na sledeći način:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\sin2n+\cos2n}{2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin2n}{2n}+\lim_{n\to\infty}\frac{\cos2n}{2n}=\\\
\\\
=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin2n}{2n}+\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{1-(\sin2n)^2}}{2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin2n}{2n}+\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{1}{4n^2}-\left(\frac{\sin 2n}{2n}\right)^2}[/dispmath] Sad, prvi limes je tablični i jednak je [inlmath]1[/inlmath], dok kod drugog dobijam [inlmath]\sqrt{-1}[/inlmath]. Ovde sam verovatno napravio neku glupu grešku, ali ne mogu da je pronađem, pošto rešenje treba da bude [inlmath]0[/inlmath].

2. Zadatak
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\sin3n}{(-1)^n\cdot n}[/dispmath] Kod ovog zadatka već nemam ideju...

Hvala unapred
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 13 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Limesi sa trigonometrijskim funkcijama

Postod miletrans » Ponedeljak, 30. Januar 2017, 13:58

Vodi računa kod prvog zadatka [inlmath]\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1[/inlmath] ako ti [inlmath]x[/inlmath] teži nuli. Tebi u ovom slučaju [inlmath]x[/inlmath] teži beskonačnosti. Kako god okreneš, u brojiocu ćeš uvek imati neki konačan broj (i sinus i kosinus mogu da imaju maksimalne vrednosti [inlmath]1[/inlmath]), a u imeniocu beskonačnost. Dakle, deliš konačnu vrednost beskonačnom pa ti se rezultat nameće sam.
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

Re: Limesi sa trigonometrijskim funkcijama

Postod extremesportist » Ponedeljak, 30. Januar 2017, 16:11

Promaklo mi je, hvala na odgovoru :D

Ima li neko ideju za drugi? Granične vrednosti mi očigledno malo slabije idu...
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 13 puta

Re: Limesi sa trigonometrijskim funkcijama

Postod Daniel » Ponedeljak, 30. Januar 2017, 16:16

Pa i u drugom ti je potpuno isti slučaj. :) Konačna vrednost podeljena beskonačnom vrednošću.

Čisto uzgred, radi budućih zadataka, da prokomentarišem onaj korak u prvom zadatku u kojem si [inlmath]\cos2n[/inlmath] zamenio sa [inlmath]\sqrt{1-(\sin2n)^2}[/inlmath].

Kada imamo [inlmath]\cos^2x[/inlmath], on se bez problema može zameniti sa [inlmath]1-\sin^2x[/inlmath].

Međutim, kad imamo [inlmath]\cos x[/inlmath] (bez kvadrata), stvar nije tako jednostavna. Moramo posmatrati da li [inlmath]\cos x[/inlmath] ima pozitivnu ili negativnu vrednost i, ako ima pozitivnu vrednost biće jednak [inlmath]\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath], a ako ima negativnu vrednost biće jednak [inlmath]-\sqrt{1-\sin^2x}[/inlmath].

Pošto u ovom konkretnom slučaju [inlmath]n\to\infty[/inlmath], predznak [inlmath]\cos2n[/inlmath] nije određen budući da i u beskonačnosti kosinus osciluje između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], i zbog toga ne možemo tek tako [inlmath]\cos2n[/inlmath] zameniti pomenutim korenom.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Limesi sa trigonometrijskim funkcijama

Postod extremesportist » Ponedeljak, 30. Januar 2017, 16:33

Hvala na savetu, koristiće mi sigurno :D

Malo me buni izraz u imeniocu, konkretno [inlmath](-1)^n[/inlmath] jer, valjda, ako je osnova [inlmath]\le-1[/inlmath] limes ne postoji. Onda u tom slučaju imamo konačnu graničnu vrednost, podeljenu sa proizvodom beskonačne i nečim što nije definisano?
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 13 puta

Re: Limesi sa trigonometrijskim funkcijama

Postod Daniel » Ponedeljak, 30. Januar 2017, 18:44

Tačno, ne postoji [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}(-1)^n[/inlmath], jer i u beskonačnosti članovi niza [inlmath](-1)^n[/inlmath] nastavljaju da naizmenično poprimaju vrednosti [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].

Međutim, ti ovde [inlmath](-1)^n[/inlmath] ne posmatraš kao izolovani niz. On se u imeniocu množi beskonačnom veličinom, tako da kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath] imenilac naizmenično poprima vrednosti [inlmath]-\infty[/inlmath] i [inlmath]\infty[/inlmath], dok u brojiocu imamo konačnu veličinu (koja osciluje između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]) – a kad konačnu vrednost podelimo bilo negativnom beskonačnom, bilo pozitivnom beskonačnom veličinom, u oba slučaja dobijamo nulu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Limesi sa trigonometrijskim funkcijama

Postod extremesportist » Utorak, 31. Januar 2017, 13:24

Hvala još jednom, stvarno ste od pomoći :D
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 13 puta


Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 34 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 20:24 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs