Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Limes sa ispita

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Limes sa ispita

Postod markoskoric916 » Ponedeljak, 18. Decembar 2017, 17:49

Naci
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}[/dispmath] moja je bila kada se taj limes malo raspise bude,
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n(n-1)\cdots1}}{n}[/dispmath] e sada prvi ako se to napise kao
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^{1-n}(n-1)\cdots1}[/dispmath] Pa kako vazi da je
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=L[/dispmath] pa je i
[dispmath]\lim_{n\to\infty}a_n=L[/dispmath] na osnovu toga bi bilo da je
[dispmath]\lim_{n\to\infty}n^{1-n}=0[/dispmath] onda je i pocetni limes jednak nuli?
Poslednji put menjao Daniel dana Ponedeljak, 18. Decembar 2017, 21:12, izmenjena samo jedanput
Razlog: Ispravka svih x→∞ u n→∞
 
Postovi: 29
Zahvalio se: 13 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Limes sa ispita

Postod Daniel » Ponedeljak, 18. Decembar 2017, 20:26

markoskoric916 je napisao:Pa kako vazi da je
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1a_2\cdots a_n}=L[/dispmath] pa je i
[dispmath]\lim_{n\to\infty}a_n=L[/dispmath]

Ovaj deo nisam razumeo.

Primenom Stirlingove aproksimacije [inlmath]n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n[/inlmath] limes se rešava u dva reda i dobije se da je jednak [inlmath]\frac{1}{e}[/inlmath].
Zasad ne vidim neki drugi način za ovaj limes, a ako se budem setio – javim.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Limes sa ispita

Postod Ilija » Ponedeljak, 18. Decembar 2017, 20:58

Mozemo upotrebiti osobinu da za pozitivan niz [inlmath]x_n[/inlmath] vazi:
[dispmath]\lim\sqrt[n]{x_n}=\lim\frac{x_{n+1}}{x_n}[/dispmath]
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 505
Lokacija: Beograd, Srbija
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 452 puta

  • +1

Re: Limes sa ispita

Postod Subject » Ponedeljak, 18. Decembar 2017, 21:35

Ja bi ovo preko integrala...

Neka je: [inlmath]L=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!^\frac{1}{n}}{n}[/inlmath]. Logaritmujemo obe strane:
[dispmath]\log{L}=\log\lim_{n\to\infty}\frac{n!^\frac{1}{n}}{n}[/dispmath] Dalje pisem bez limesa, samo resavam izraz u limesu.
[dispmath]\log\frac{n!^\frac{1}{n}}{n}=\frac{1}{n}(\log n!-n\log n)=\frac{1}{n}\log\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{n}\log\frac{n(n-1)\cdots2\cdot1}{\underbrace{n\cdot n\cdots n\cdot n}_{n\text{ množenja}}}[/dispmath] Sto je dalje jednako:
[dispmath]\frac{1}{n}\left(\log\frac{1}{n}+\log\frac{2}{n}+\cdots+\log\frac{n}{n}\right)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\frac{k}{n}[/dispmath] Ovo ti je integral... Ne mogu da ti objasnjavam zasto malo je komplikovano, ako ti bas nije jasno, reci i objasnicu. Dakle dobices da ti je:
[dispmath]\log L=\int\limits_0^1\ln x\,\mathrm dx=-1[/dispmath] Ovade sledi da ti je
[dispmath]L=e^{-1}=\frac{1}{e}[/dispmath] sto je i Daniel dobio.

Kada resavas integral dobices na kraju ovako: [inlmath]x\log x-x[/inlmath] u granicama od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath].

Kad umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrstis [inlmath]0[/inlmath] dobijas [inlmath]0\cdot\log0[/inlmath], ovo je neodredjen oblik, pa zato ga radis preko limesa. Stavis limes sa leve strane kada [inlmath]x[/inlmath] tezi [inlmath]0[/inlmath], i napravis [inlmath]\frac{\log x}{\frac{1}{x}}[/inlmath] i uradis Lopitalovo pravilo i dobijes da je to [inlmath]0[/inlmath]. Kraj.
"All we have to decide is what to do with the time that is given to us." - J.R.R.Tolkien
"Zivot nije vazniji od obraza." - Milorad Golijan
Korisnikov avatar
Subject  OFFLINE
 
Postovi: 59
Zahvalio se: 38 puta
Pohvaljen: 25 puta

  • +1

Re: Limes sa ispita

Postod Daniel » Utorak, 19. Decembar 2017, 02:02

Baš mi se svideo ovaj način preko integrala, veoma je originalan. :thumbup:

Što se tiče ovog dela za koji je Subject rekao da će ga po potrebi pojasniti,
Subject je napisao:[dispmath]\frac{1}{n}\left(\log\frac{1}{n}+\log\frac{2}{n}+\cdots+\log\frac{n}{n}\right)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\log\frac{k}{n}[/dispmath] Ovo ti je integral... Ne mogu da ti objasnjavam zasto malo je komplikovano, ako ti bas nije jasno, reci i objasnicu.

bilo je o tome reči u drugom delu ovog posta, pa zainteresovani mogu baciti pogled.
Naime, ova suma još uvek nije integral, ali će preći u integral kada se pusti da [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačnosti. Tada će izraz [inlmath]\frac{k}{n}[/inlmath] koji ima diskretne vrednosti od [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath], preći u [inlmath]x[/inlmath] koje ima kontinualnu vrednost od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath]. Razlomak [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] ispred sume preći će u diferencijal [inlmath]\mathrm dx[/inlmath], dok će sama suma po [inlmath]k[/inlmath] preći u integral po [inlmath]x[/inlmath], s granicama od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 31 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 11:46 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs