Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Limes iz Ušćumlića

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Limes iz Ušćumlića

Postod Ilija Varvarin » Sreda, 03. Januar 2018, 13:11

Zadatak je 2476. na stranici 220 iz zbirke od Ušćumlića, rješenje je [inlmath]a[/inlmath]. Zadatak treba riješiti upotrebom Lopitalovog pravila.
[dispmath]\lim_{x\to\infty}x\cdot\ln{x}\left\{1-\left[\frac{\ln(x-1)}{\ln x}\right]^a\right\}[/dispmath][dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{1-\left[\frac{\ln(x-1)}{\ln x}\right]^a}{\frac{1}{x\cdot\ln{x}}}[/dispmath] Sada imam oblik [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath] pa primjenim Lopitalovo pravilo i dobijem:
[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{xa\ln^{a-1}(x-1)\bigl(x\ln x-(x-1)\ln(x-1)\bigr)}{(x-1)(\ln x+1)\ln^{a-1}x}[/dispmath] Mislim da nisam pogriješio u izvodu, ali ne znam šta da radim dalje, izraz mi je previše komplikovan da ponovo pokušam da primjenim Lopitala.
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Limes iz Ušćumlića

Postod Daniel » Sreda, 03. Januar 2018, 17:28

Izvod je dobar, s tim da nisi morao da [inlmath]\left[\frac{\ln(x-1)}{\ln x}\right]^{a-1}[/inlmath] razdvajaš na brojilac i imenilac. Može se lako pokazati da [inlmath]\frac{\ln(x-1)}{\ln x}[/inlmath] teži jedinici, bilo preko Lopitala, bilo preko [inlmath]\frac{\ln(x-1)}{\ln x}=\frac{\ln(x-1)-\ln x+\ln x}{\ln x}=\frac{\ln\frac{x-1}{x}+\ln x}{\ln x}=\frac{\ln\frac{x-1}{x}}{\ln x}+1[/inlmath].

Dakle, izraz koji si dobio napišeš kao
[dispmath]a\lim_{x\to\infty}\cancelto{1}{\frac{x}{x-1}}\cdot\cancelto{1}{\left[\frac{\ln(x-1)}{\ln x}\right]^{a-1}}\cdot\frac{x\ln x-(x-1)\ln(x-1)}{\ln x+1}[/dispmath] Na ovaj preostali razlomak dvaput primeniš Lopitala (prvi put imaš oblik [inlmath]\frac{\infty}{\infty}[/inlmath], a drugi put oblik [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath]).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 8382
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4462 puta
Pohvaljen: 4456 puta

Re: Limes iz Ušćumlića

Postod Ilija Varvarin » Sreda, 03. Januar 2018, 21:31

Zahvaljujem :D
 
Postovi: 24
Zahvalio se: 18 puta
Pohvaljen: 3 puta


Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 8 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 25. Septembar 2020, 12:02 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs