od Daniel » Nedelja, 07. Januar 2018, 23:20
Tako je, upravo to treba da se dobije, sad to razdvojiš na zbir dva razlomka (ili, zbir dva limesa):
[dispmath]\lim_{x\to0}\frac{\text{tg}(\text{tg }x-\sin x)\cdot\bigl(1+\text{tg}(\text{tg }x)\text{tg}(\sin x)\bigr)}{\text{tg }x-\sin x}+\lim_{x\to0}\frac{\sin(\sin x)\left(\frac{1}{\cos(\sin x)}-1\right)}{\text{tg }x-\sin x}[/dispmath] Prvi limes je [inlmath]1[/inlmath], jer je [inlmath]\lim\limits_{\alpha\to0}\frac{\text{tg }\alpha}{\alpha}=1[/inlmath], a ovde je [inlmath]\alpha=\text{tg }x-\sin x[/inlmath].
U drugom limesu ispred imenioca možemo izvući [inlmath]\sin x[/inlmath], čime taj drugi limes postaje
[dispmath]\lim_{x\to0}\cancelto{1}{\frac{\sin(\sin x)}{\sin x}}\cdot\frac{\frac{1}{\cos(\sin x)}-1}{\frac{1}{\cos x}-1}[/dispmath] Ovaj razlomak koji ostaje napišemo kao
[dispmath]\lim_{x\to0}\cancelto{1}{\frac{\cos x}{\cos(\sin x)}}\cdot\frac{1-\cos(\sin x)}{1-\cos x}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1-\cos(\sin x)}{\sin^2x}}{\frac{1-\cos x}{x^2}}\cdot\frac{\sin^2x}{x^2}[/dispmath] Sada se još samo upotrebi limes koji bi trebalo da je poznat, [inlmath]\lim\limits_{\alpha\to0}\frac{1-\cos\alpha}{\alpha^2}=\frac{1}{2}[/inlmath], a koji se uostalom lako može i dokazati, bilo preko Lopitala, bilo množenjem brojioca i imenioca sa [inlmath](1+\cos\alpha)[/inlmath].
Što se tiče Tejlorovog reda. Razvoj tangensa u okolini nule je [inlmath]\text{tg }\alpha=\alpha+\frac{1}{3}\alpha^3+\frac{2}{15}\alpha^5+\sigma\left(\alpha^5\right)[/inlmath], a sinusa [inlmath]\sin\alpha=\alpha-\frac{1}{6}\alpha^3+\frac{1}{120}\alpha^5+\sigma\left(\alpha^5\right)[/inlmath]. Ako primenimo razvoj prvo na imenilac, vidimo da će biti
[dispmath]\text{tg }x-\sin x=\cancel x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5-\cancel x+\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{120}x^5+\sigma\left(x^5\right)=\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{8}x^5+\sigma\left(x^5\right)[/dispmath] to jest, da će najmanji stepen biti treći stepen. To znači da je brojilac dovoljno razviti do trećeg stepena. [inlmath]\text{tg}(\text{tg }x)[/inlmath] razviješ na sledeći način:
[dispmath]\begin{align}
\text{tg}(\text{tg }x)&=\text{tg }x+\frac{1}{3}\text{tg}^3x+\sigma\left(\text{tg}^3x\right)=\\
&=x+\frac{1}{3}x^3+\sigma\left(x^3\right)+\frac{1}{3}\left(x+\frac{1}{3}x^3+\sigma\left(x^3\right)\right)^3+\sigma\left(x^3\right)\\
\end{align}[/dispmath] Kada ovo u zagradi dižeš na treći stepen, dovoljno je da u formuli [inlmath](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3[/inlmath] uzmeš samo prvi sabirak (koji će biti [inlmath]x^3[/inlmath]) jer će svi ostali sabirci biti višeg stepena tako da će ih sve obuhvatiti [inlmath]\sigma\left(x^3\right)[/inlmath].
Prepuštam ti da uradiš isto to za [inlmath]\sin(\sin x)[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain