Granična vrednost funkcije – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Utorak, 25. Jun 2019, 17:46
od Pera
Prijemni ispit ETF – 24. jun 2019.
8. zadatak


Pozdrav!
Gde grešim? Rešenje je [inlmath]4[/inlmath].

Hvala na odgovorima.
[dispmath]\lim_{x\to3}\frac{x^3-6x^2+11x-6}{x^2-6x+9}\cdot\frac{\sin(x-3)}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}=\\
\lim_{x\to3}\frac{x^3-6x^2+11x-6}{x^2-6x+9}\cdot\lim_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}[/dispmath] Na prvi limes moze da se primeni Lopitalovo pravilo:
[dispmath]\lim_{x\to3}\frac{3x^2-12x+11}{2x-6}\cdot\lim_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}=\\
2\cdot\lim_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{2x-6}\cdot\lim_{x\to3}\frac{1}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}=[/dispmath] Ponovo Lopitalovo na prvu granicnu vrednost...
[dispmath]2\cdot\lim_{x\to3}\frac{\cos(x-3)}{2}\cdot\lim_{x\to3}\frac{1}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot2=2[/dispmath]

Re: Granična vrednost funkcije – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Utorak, 25. Jun 2019, 19:23
od Daniel
Pozdrav! Napravio si sledeće greške:

Pera je napisao:[dispmath]\lim_{x\to3}\frac{x^3-6x^2+11x-6}{x^2-6x+9}\cdot\frac{\sin(x-3)}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}=\\
\lim_{x\to3}\frac{x^3-6x^2+11x-6}{x^2-6x+9}\cdot\lim_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}[/dispmath]

Limes proizvoda smeš da rastaviš na proizvod limesa tek onda kad znaš da će oba ta limesa postojati. Ovde to nije slučaj. Drugi limes, istina, postoji (vrednost mu je nula), ali prvi limes ne postoji (pokazalo bi se da je jednak beskonačnosti, pozitivnoj ili negativnoj – zavisno od toga s koje strane se približavamo trojci).
Dakle, mora se ipak sve raditi kao jedan limes, bez rastavljanja na proizvod limesa.

Pera je napisao:[dispmath]\lim_{x\to3}\frac{x^3-6x^2+11x-6}{x^2-6x+9}\cdot\lim_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}[/dispmath] Na prvi limes moze da se primeni Lopitalovo pravilo:
[dispmath]\lim_{x\to3}\frac{3x^2-12x+11}{2x-6}\cdot\lim_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}=[/dispmath]

Ne sme ni ovo. Da bi se Lopitalovo pravilo smelo primeniti, mora biti ispunjen uslov da [inlmath]\lim\limits_{x\to3}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/inlmath] postoji. To ovde nije zadovoljeno, jer ako u dobijeni limes, [inlmath]\lim\limits_{x\to3}\frac{3x^2-12x+11}{2x-6}[/inlmath], uvrstiš [inlmath]x=3[/inlmath], videćeš da će on biti oblika [inlmath]\frac{2}{0}[/inlmath], tj. taj limes neće postojati.

Ovo je, zapravo, korak zbog kojeg si dobio dvaput manji rezultat od ispravnog. Da si ispravno sredio taj razlomak (imenilac napisao kao [inlmath](x-3)^2[/inlmath] a zatim uočio da se brojilac može napisati kao [inlmath](x-3)[/inlmath] puta nešto, pri čemu se gornji [inlmath](x-3)[/inlmath] skrati s donjim kvadratom), razlomak bi ispravno glasio [inlmath]\frac{x^2-3x+2}{x-3}[/inlmath], što bi za [inlmath]x\to3[/inlmath] dalo [inlmath]\frac{2}{x-3}[/inlmath], za razliku od [inlmath]\frac{2}{2x-6}[/inlmath] koliko bi se dobilo za tvoj razlomak.

Pera je napisao:[dispmath]\lim_{x\to3}\frac{3x^2-12x+11}{2x-6}\cdot\lim_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}=\\
2\cdot\lim_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{2x-6}\cdot\lim_{x\to3}\frac{1}{\ln(2x-5)+\cos\left(\frac{\pi}{x}\right)}=[/dispmath]

Ovo je takođe „no-no“. Brojilac drugog limesa prebacio si u brojilac prvog limesa (što bi bilo sasvim dozvoljeno da nisi izvršio razdvajanje na proizvod limesa, tada bi pod jednim limesom imao dva razlomka i mogao bi da razmenjuješ njihove brojioce kako želiš).

Re: Granična vrednost funkcije – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Utorak, 25. Jun 2019, 19:52
od Pera
Hvala ti na brzom odgovoru. Samo, ja uopste nemam ideju kako bi se ovo moglo resiti.

Re: Granična vrednost funkcije – prijemni ETF 2019.

PostPoslato: Utorak, 25. Jun 2019, 20:09
od Daniel
Pa, veći deo postupka sam ti i napisao u ovom delu:
Daniel je napisao:Da si ispravno sredio taj razlomak (imenilac napisao kao [inlmath](x-3)^2[/inlmath] a zatim uočio da se brojilac može napisati kao [inlmath](x-3)[/inlmath] puta nešto, pri čemu se gornji [inlmath](x-3)[/inlmath] skrati s donjim kvadratom), razlomak bi ispravno glasio [inlmath]\frac{x^2-3x+2}{x-3}[/inlmath],

Nakon toga, kao jedini „problematični“ faktori (tj. faktori koji će težiti nuli) ostaju [inlmath]\sin(x-3)[/inlmath] u brojiocu i [inlmath](x-3)[/inlmath] u imeniocu. A limes [inlmath]\lim\limits_{x\to3}\frac{\sin(x-3)}{x-3}[/inlmath] pretpostavljam da znaš čemu je jednak...