Poredbeni kriterijum

PostPoslato: Četvrtak, 14. Novembar 2019, 15:43
od desa9
Predjoh na limese, pa imam problem oko ovog tzv poredbenog kriterijuma. Naime, konkretno u zadatku:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\frac{\sqrt n}{1+\sqrt{2n^3+(-1)^k\cdot\sqrt k}}[/dispmath] Znam da treba da ogranicim ovaj pocetni izraz sa lijeve i desne strane uvrstavajuci za to neko [inlmath]k[/inlmath]. Probala sam da sa prvo da uvrstim da je [inlmath]k=0[/inlmath] jer je to njegova najmanja vrijednost pa onda da je [inlmath]k=n[/inlmath]. U tom slucaju bi mi smetalo [inlmath](-1)^n[/inlmath] za koje ne bih znala da nadjem limes (ako se uopste ovako radi).

Re: Poredbeni kriterijum

PostPoslato: Sreda, 15. April 2020, 14:34
od Onomatopeja
Sa jedne strane vazi [inlmath]2n^3+(-1)^k\sqrt{k}\geq 2n^3-\sqrt{k}\geq 2n^3-\sqrt{n}>0,[/inlmath] pa je
[dispmath]\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+(-1)^k\sqrt{k}}} \leq \frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3-\sqrt{n}}},[/dispmath]
odnosno
[dispmath]\sum_{k=0}^n \frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+(-1)^k\sqrt{k}}} \leq \sum_{k=0}^n\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3-\sqrt{n}}}= \frac{(n+1)\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3-\sqrt{n}}}.[/dispmath]
Sa druge strane, slicno, vazi [inlmath]0<2n^3+(-1)^k\sqrt{k}\leq 2n^3+\sqrt{k}\leq 2n^3+\sqrt{n},[/inlmath] pa je
[dispmath]\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+(-1)^k\sqrt{k}}} \geq\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+\sqrt{n}}},[/dispmath]
odnosno
[dispmath]\sum_{k=0}^n \frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+(-1)^k\sqrt{k}}} \geq \sum_{k=0}^n\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+\sqrt{n}}}= \frac{(n+1)\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+\sqrt{n}}}.[/dispmath]
Dakle, za svako [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] vazi
[dispmath]\frac{(n+1)\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+\sqrt{n}}}\leq\sum_{k=0}^n \frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+(-1)^k\sqrt{k}}} \leq \frac{(n+1)\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3-\sqrt{n}}}.[/dispmath]

Kako je [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+\sqrt{n}}}=\frac1{\sqrt{2}}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{(n+1)\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3-\sqrt{n}}}=\frac1{\sqrt{2}},[/inlmath] to je prema lemi o dva policajca
[dispmath]\lim_{n\to\infty} \sum_{k=0}^n \frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{2n^3+(-1)^k\sqrt{k}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.[/dispmath]