Resavanje limesa sa 1^∞

PostPoslato: Ponedeljak, 27. Januar 2020, 11:51
od bakisa
Pozdrav,
Da li neko moze da objasni kako bih resio ovaj problem i da mi posalje neka pravila/materijale za resavanja slicnih problema?
[dispmath]\lim_{x\to0}\left(\sin x+\cos x\right)^\frac{1}{x^2}[/dispmath] Hvala!

Re: Resavanje limesa sa 1^∞

PostPoslato: Ponedeljak, 27. Januar 2020, 12:42
od primus
Upotrebi sledeću jednakost: [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}e^{\ln(f(x))}=e^{\displaystyle\lim_{x\to0}\ln(f(x))}[/inlmath] i logaritamsko pravilo [inlmath]\ln a^n=n\cdot\ln a[/inlmath], a potom primeni Lopitalovo pravilo.

Re: Resavanje limesa sa 1^∞

PostPoslato: Ponedeljak, 27. Januar 2020, 21:09
od bakisa
Dolazim do ovoga:
[dispmath]e^{\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos x-\sin x}{2x\left(\sin x+\cos x\right)}\right)}[/dispmath] Ali mi i dalje smeta [inlmath]x[/inlmath] u imeniocu, posto se dobija [inlmath]e^\infty[/inlmath], a ne znam kako da ga se otarasim.
Da li postoji jos neko pravilo koje mogu da primenim ili je [inlmath]\infty[/inlmath] resenje zadatka?

Re: Resavanje limesa sa 1^∞

PostPoslato: Utorak, 28. Januar 2020, 05:32
od primus
bakisa je napisao:Dolazim do ovoga:
[dispmath]e^{\displaystyle\lim_{x\to0}\left(\frac{\cos x-\sin x}{2x\left(\sin x+\cos x\right)}\right)}[/dispmath]

Dobio si ispravan izraz. Sad posmatraj dva slučaja: kad [inlmath]x\to0^-[/inlmath] i kad [inlmath]x\to0^+[/inlmath].

Re: Resavanje limesa sa 1^∞

PostPoslato: Nedelja, 02. Februar 2020, 01:43
od Daniel
Često se u zadacima traži da se limes reši bez upotrebe Lopitalovog pravila (što je i razumljivo, jer raditi Lopitalovim pravilom je jednostavno, kao i voziti autoputem, ali treba naučiti voziti i po sokacima :) ), tako da nije zgoreg znati i drugi način.
Kad imamo ovakve limese tima [inlmath]1^\infty[/inlmath], to se obično može svesti na neki od ona dva karakteristična limesa koji iznose [inlmath]e[/inlmath]:
  • [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath]
  • [inlmath]\lim\limits_{n\to0}(1+n)^\frac{1}{n}[/inlmath]
Konkretno u ovom zadatku, zadati limes je zgodnije svesti na [inlmath]\lim\limits_{n\to0}(1+n)^\frac{1}{n}[/inlmath], tako što se on malo transformiše:
[dispmath]\lim_{x\to0}\bigl(1+(\sin x+\cos x-1)\bigr)^{\Large\frac{1}{x^2}}[/dispmath] Ovo smo uradili zato da bismo unutar zagrade imali jedan plus nešto što teži nuli (ovo što teži nuli je izraz [inlmath]\sin x+\cos x-1[/inlmath]).
Zatim, da bismo sveli na oblik [inlmath](1+n)^\frac{1}{n}[/inlmath], eksponent pomnožimo i podelimo sa [inlmath]\sin x+\cos x-1[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{x\to0}\bigl(1+(\sin x+\cos x-1)\bigr)^{\Large\frac{1}{\sin x+\cos x-1}\cdot\frac{\sin x+\cos x-1}{x^2}}[/dispmath] što je jednako, koristeći pravilo [inlmath]a^{bc}=\left(a^b\right)^c[/inlmath],
[dispmath]\lim_{x\to0}\Bigl(\bigl(1+(\sin x+\cos x-1)\bigr)^{\Large\frac{1}{\sin x+\cos x-1}}\Bigr)^{\Large\frac{\sin x+\cos x-1}{x^2}}\\
\lim_{x\to0}\Bigl(\bigl(1+(\sin x+\cos x-1)\bigr)^{\Large\frac{1}{\sin x+\cos x-1}}\Bigr)^{{\large\lim\limits_{x\to0}}\Large\frac{\sin x+\cos x-1}{x^2}}[/dispmath] Pošto, kada [inlmath]x\to0[/inlmath], izraz [inlmath]\sin x+\cos x-1[/inlmath] teži nuli, ceo izraz [inlmath]\bigl(1+(\sin x+\cos x-1)\bigr)^{\Large\frac{1}{\sin x+\cos x-1}}[/inlmath] će težiti broju [inlmath]e[/inlmath] (jer će biti oblika [inlmath](1+n)^\frac{1}{n}[/inlmath], gde [inlmath]n[/inlmath] teži nuli), tako da limes postaje
[dispmath]e\,^{{\large\lim\limits_{x\to0}}\Large\frac{\sin x+\cos x-1}{x^2}}[/dispmath] Sad je dalje lako, [inlmath]\sin x[/inlmath] se napiše kao [inlmath]2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}[/inlmath], [inlmath]1-\cos x[/inlmath] se napiše kao [inlmath]2\sin^2\frac{x}{2}[/inlmath], a [inlmath]x[/inlmath] se napiše kao [inlmath]2\cdot\frac{x}{2}[/inlmath], i iskoristimo to što [inlmath]\frac{x}{2}[/inlmath] teži nuli.
A ako ti je lakše, možeš umesto toga uvesti smenu [inlmath]x=2t[/inlmath]...

I, kao što primus napomenu, neće biti ista vrednost limesa za [inlmath]x\to0^-[/inlmath] i za [inlmath]x\to0^+[/inlmath], tako da treba razmotriti oba slučaja.