Granična vrednost logaritamske funkcije

PostPoslato: Utorak, 13. Oktobar 2020, 12:58
od Frank
Pozdrav! Nikako ne uspevam da uradim sledeći zadatak:
[dispmath]\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(1+3^x\right)}{\ln\left(1+2^x\right)}[/dispmath] Rešenje je [inlmath]\Large\frac{\ln3}{\ln2}[/inlmath].
Ma koliko dugo pokušavao da rešim zadatak, ne uspevam ni da se mrdnem s početka. Prvo što sam pokušao je rastavljanje limesa količnika na količnik limesa. Potom sam gledao da uvedem neku smenu (konkretno, pokušao sam sa smenom [inlmath]\frac{1}{3^x}=t,\;t\to0[/inlmath]) koja će me odvesti do nekog karakterističnog limesa.
Rezultat [inlmath]\left(\frac{\ln3}{\ln2}\right)[/inlmath] me vukao na to da limes ubacim pod logaritam. Međutim, ništa od ovoga ne pali. Na koji način prići zadatku? Hvala!
Da [inlmath]x[/inlmath] kojim slučajem, teži minus beskonačnosti, znao bih šta da radim, ali ovako...

Re: Granična vrednost logaritamske funkcije

PostPoslato: Utorak, 13. Oktobar 2020, 13:13
od primus
Hint:
[dispmath]\ln\left(1+3^x\right)=\ln\left(3^x\right)+\ln\left(1+3^{-x}\right)\\
\ln\left(1+2^x\right)=\ln\left(2^x\right)+\ln\left(1+2^{-x}\right)[/dispmath]