Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA LIMESI

Funkcija (sin x)/x – limesi i grafik

[inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}x\left(\sqrt{x^2+a^2}-x\right)[/inlmath]

Funkcija (sin x)/x – limesi i grafik

Postod Daniel » Utorak, 03. Septembar 2013, 10:11

[dispmath]f\left(x\right)=\frac{\sin x}{x}[/dispmath]
LIMES U NULI:
[dispmath]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1[/dispmath]
Ovo je jedan limes koji smatramo poznatim i koji vrlo često koristimo pri rešavanju raznih složenijih limesa. Sada ćemo ga i dokazati.

Dokaz L'Hôpitalovim pravilom nije validan. Evo i zašto:
[dispmath]\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\left(\sin x\right)'}{\left(x\right)'}[/dispmath]
[inlmath]\left(x\right)'[/inlmath], naravno, znamo, to je [inlmath]1[/inlmath]. Međutim, kako znamo koliko je [inlmath]\left(\sin x\right)'[/inlmath]? (Naravno, znamo da je to jednako [inlmath]\cos x[/inlmath], ali je potrebno to i dokazati.)
Tražimo [inlmath]\left(\sin x\right)'[/inlmath] preko definicije izvoda:
[dispmath]f\:'\left(x\right)\overset{\mathrm{def}}{=\!=}\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}[/dispmath]
[dispmath]\left(\sin x\right)'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin\left(x+\Delta x\right)-\sin x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin x\cos\Delta x+\cos x\sin\Delta x-\sin x}{\Delta x}=[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin x\cancelto{0}{\left(\cos\Delta x-1\right)}+\cos x\sin\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\cos x\cancelto{1}{\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}}=\cos x[/dispmath]
Međutim, problem je u pretposlednjem koraku. Koristili smo [inlmath]\lim\limits_{\Delta x\to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x}=1[/inlmath], a upravo je to ono što dokazujemo. Na taj način, vrtimo se u „začaranom krugu“.

Iz istog razloga, ovaj limes nije moguće dokazati ni preko Taylorovog razvoja sinusa, jer i u njemu figuriše kosinus kao izvod sinusa, a, kao što smo videli, ne znamo da je izvod sinusa kosinus dok prvo ne dokažemo [inlmath]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1[/inlmath].

Ovaj limes je moguće dokazati geometrijskim putem:

Posmatramo trigonometrijski krug i neki ugao [inlmath]x[/inlmath] na način kao što i uvek posmatramo uglove na trigonometrijskom krugu: teme ugla je u centru trigonometrijskog kruga, jedan krak ugla leži na [inlmath]x[/inlmath]-osi, a ugao merimo u smeru suprotnom kretanju kazaljke na časovniku. Trigonometrijski krug, naravno, ima jedinični poluprečnik.

trigonometrijski krug.png
trigonometrijski krug.png (3.07 KiB) Pogledano 4194 puta

Sa slike se lako uočava da je površina kružnog isečka [inlmath]AOB[/inlmath] (tj. isečka ograničenog poluprečnicima [inlmath]OA[/inlmath] i [inlmath]OB[/inlmath]) jednaka zbiru površine trougla [inlmath]\triangle OAB[/inlmath] i površine kružnog odsečka nad tetivom [inlmath]AB[/inlmath].
Prema tome, površina kružnog isečka [inlmath]AOB[/inlmath] je veća od površine trougla [inlmath]\triangle OAB[/inlmath].
Takođe se može uočiti i da trougao [inlmath]\triangle OAC[/inlmath] sadrži kružni isečak [inlmath]AOB[/inlmath].
Prema tome, površina kružnog isečka [inlmath]AOB[/inlmath] je manja od površine trougla [inlmath]\triangle OAC[/inlmath].

Sada ćemo ove tri površine izraziti u funkciji ugla [inlmath]x[/inlmath].



Posmatramo prvo trougao [inlmath]\triangle OAB[/inlmath].

trougao OAB.png
trougao OAB.png (3.06 KiB) Pogledano 4194 puta

Njegova površina je jednaka[dispmath]P_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}OA\cdot BB'[/dispmath]Osnovica ovog trougla, [inlmath]OA[/inlmath], predstavlja poluprečnik trigonometrijskog kruga, pa je [inlmath]OA=1[/inlmath]. Visina ovog trougla, [inlmath]BB'[/inlmath], na osnovu osobina trigonometrijskog kruga, jednaka je [inlmath]\left|\sin x\right|[/inlmath] (apsolutnu vrednost uzimamo zbog slučaja kada ugao [inlmath]x[/inlmath] ima negativne vrednosti – visina trougla i dalje, naravno, mora biti pozitivna, s tom razlikom što bi se sada teme [inlmath]B[/inlmath] nalazilo „ispod“ osnovice trougla [inlmath]OA[/inlmath]). Prema tome, možemo pisati:[dispmath]P_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot\left|\sin x\right|[/dispmath][dispmath]P_{\triangle OAB}=\frac{\left|\sin x\right|}{2}[/dispmath]


Sada posmatramo kružni isečak [inlmath]AOB[/inlmath].

kruzni isecak AOB.png
kruzni isecak AOB.png (3.06 KiB) Pogledano 4194 puta

Njegov centralni ugao je ugao [inlmath]x[/inlmath]. Površinu kružnog isečka računamo po formuli [inlmath]P_\mathrm{is}=\frac{r^2}{2}\cdot\alpha[/inlmath], gde je [inlmath]r[/inlmath] poluprečnik kružnice, a [inlmath]\alpha[/inlmath] centralni ugao tog isečka. (Ovo se lako i izvodi tako što znamo da, kada je [inlmath]\alpha=2\pi[/inlmath], u pitanju je pun krug, a njegova površina je [inlmath]\pi r^2[/inlmath], pa postavljanjem proporcije između centralnog ugla i površine isečka, dolazimo do pomenute formule za površinu kružnog isečka.)

Površina kružnog isečka na slici biće
[dispmath]P_{\mathrm{is}\:AOB}=\frac{OA^2}{2}\cdot\left|x\right|[/dispmath]
(I ovde smo uzeli apsolutnu vrednost zbog slučaja kada je ugao [inlmath]x[/inlmath] negativan – u tom slučaju površina i dalje mora biti pozitivna, samo što se tada posmatrana površ nalazi „ispod“ poluprečnika [inlmath]OA[/inlmath].)
Pošto je [inlmath]OA=1[/inlmath],
[dispmath]P_{\mathrm{is}\:AOB}=\frac{\left|x\right|}{2}[/dispmath]


I, na kraju, posmatramo trougao [inlmath]\triangle OAC[/inlmath].

trougao OAC.png
trougao OAC.png (3.06 KiB) Pogledano 4194 puta

Njegova površina je jednaka[dispmath]P_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}OA\cdot AC[/dispmath]Osnovica ovog trougla, [inlmath]OA[/inlmath], predstavlja poluprečnik trigonometrijskog kruga, pa je [inlmath]OA=1[/inlmath]. Visina ovog trougla, [inlmath]AC[/inlmath], na osnovu osobina trigonometrijskog kruga, jednaka je [inlmath]\left|\mathrm{tg}\:x\right|[/inlmath] (kao i u prethodnim slučajevima, apsolutnu vrednost uzimamo zbog slučaja kada ugao [inlmath]x[/inlmath] ima negativne vrednosti – visina trougla i dalje, naravno, mora biti pozitivna, s tom razlikom što bi se sada teme [inlmath]C[/inlmath] nalazilo „ispod“ osnovice trougla [inlmath]OA[/inlmath]). Prema tome, možemo pisati:[dispmath]P_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot\left|\mathrm{tg}\:x\right|[/dispmath][dispmath]P_{\triangle OAC}=\frac{\left|\mathrm{tg}\:x\right|}{2}[/dispmath]


Pošto smo još na početku uočili da je
[dispmath]P_{\triangle OAB}<P_{\mathrm{is}\:AOB}<P_{\triangle OAC}[/dispmath]
možemo sada pisati
[dispmath]\frac{\left|\sin x\right|}{2}<\frac{\left|x\right|}{2}<\frac{\left|\mathrm{tg}\:x\right|}{2}\quad /\cdot\frac{2}{\left|\sin x\right|}[/dispmath][dispmath]1<\frac{\left|x\right|}{\left|\sin x\right|}<\frac{\left|\mathrm{tg}\:x\right|}{\left|\sin x\right|}[/dispmath][dispmath]1<\left|\frac{x}{\sin x}\right|<\frac{\left|\frac{\sin x}{\cos x}\right|}{\left|\sin x\right|}[/dispmath][dispmath]1<\left|\frac{x}{\sin x}\right|<\frac{\frac{\cancel{\left|\sin x\right|}}{\left|\cos x\right|}}{\cancel{\left|\sin x\right|}}[/dispmath][dispmath]1<\left|\frac{x}{\sin x}\right|<\frac{1}{\left|\cos x\right|}[/dispmath]
Budući da tražimo limes ove funkcije u okolini nule (s njene leve ili desne strane), [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]\sin x[/inlmath] će biti istog znaka – kao, uostalom, i u celom intervalu [inlmath]x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath] – pa je [inlmath]\frac{\sin x}{x}>0[/inlmath], tako da se možemo osloboditi apsolutne vrednosti. Takođe, u celom intervalu [inlmath]x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)[/inlmath] kosinus je veći od nule, tako da i njega možemo pisati bez apsolutne vrednosti:
[dispmath]1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}[/dispmath]
ili, izraženo preko recipročnih vrednosti ovih izraza,
[dispmath]\cos x<\frac{\sin x}{x}<1[/dispmath]
Pošto se [inlmath]\frac{\sin x}{x}[/inlmath] nalazi u „sendviču“ između [inlmath]\cos x[/inlmath] (koje, kada [inlmath]x\to 0[/inlmath], teži jedinici) i same jedinice, tada mora i [inlmath]\frac{\sin x}{x}[/inlmath] da teži jedinici kada [inlmath]x\to 0[/inlmath].
Pošto je, korišćenjem apsolutnih vrednosti, obuhvaćen i slučaj približavanja nuli preko negativnih vrednosti ugla [inlmath]x[/inlmath], ovime je pokazano da je limes funkcije [inlmath]\frac{\sin x}{x}[/inlmath] s obe strane nule jednak i iznosi [inlmath]1[/inlmath]:
[dispmath]\enclose{box}{\lim_{x\to 0^-}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{\sin x}{x}=1}[/dispmath]


LIMES U BESKONAČNOSTI:

Što se tiče limesa u beskonačnosti, situacija je sledeća: kada [inlmath]x\to\pm\infty[/inlmath], izraz u brojiocu, [inlmath]\sin x[/inlmath], ne teži nijednoj određenoj vrednosti, već i u beskonačnosti osciluje u intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath], što znači da uvek ima neku konačnu vrednost. Nasuprot njemu, [inlmath]x[/inlmath] iz imenioca teži beskonačnoj vrednosti (negativnoj ili pozitivnoj), pa imamo deljenje konačne vrednosti beskonačnom vrednošću, što daje nulu. Prema tome,
[dispmath]\enclose{box}{\lim_{x\to -\infty}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\sin x}{x}=0}[/dispmath]


GRAFIK:

Ova funkcija, idući od nule prema obema stranama, ka [inlmath]x\to -\infty[/inlmath] i ka [inlmath]x\to +\infty[/inlmath], predstavlja prigušene oscilacije – doduše, ne tačno onakve kakve se dešavaju u prirodi, budući da u prirodi amplituda oscilacija opada s faktorom [inlmath]e^{-kx}[/inlmath], a kod ove funkcije amplituda opada s faktorom [inlmath]\frac{1}{x}[/inlmath].
Za [inlmath]x=0[/inlmath] funkcija nije definisana (zbog [inlmath]x[/inlmath] u imeniocu), ali kada [inlmath]x\to 0[/inlmath] i sa leve i sa desne strane, vrednost funkcije teži jedinici.

grafik.png
grafik.png (2.73 KiB) Pogledano 4194 puta
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Povratak na LIMESI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 18. Avgust 2019, 10:44 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs