Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Teorijski zadaci – diferencijabilnost funkcije

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]

Teorijski zadaci – diferencijabilnost funkcije

Postod Vv123 » Petak, 09. Avgust 2019, 16:55

1. Neka je [inlmath]f\colon[0,1]\to\mathbb{R}[/inlmath] dva puta diferencijabilna funkcija sa neprekidnim drugim izvodom i
[dispmath]\int_0^1f(x)\,\mathrm dx=3\int_\frac {1}{3}^\frac{2}{3}f(x)\,\mathrm dx[/dispmath] Dokazati da postoji [inlmath]x_0\in(0,1)[/inlmath] takav da je [inlmath]f''(x_0)=0[/inlmath].

2. Neka je [inlmath]f\colon[0,1]\to\mathbb{R}[/inlmath] dva puta diferencijabilna funkcija sa neprekidnim drugim izvodom takva da je [inlmath]f(0)=0[/inlmath], [inlmath]f(1)=1[/inlmath] i [inlmath]f'(0)=f'(1)=0[/inlmath]. Dokazati da postoji [inlmath]x_0\in[0,1][/inlmath] takav da je [inlmath]|f''(x_0)|\ge4[/inlmath].

Stvarno ne znam kako bih rešila ove zadatke, niti kako bih počela. Svi ovi podaci dati u zadacima sigurno pomažu pri rešavanju, ali ja ne znam kako uz pomoć njih da znam šta da radim i odakle da počnem. Nadam se da mi neko može pomoći i što detaljnije objasniti način rešavanja.
Vv123  OFFLINE
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Teorijski zadaci – diferencijabilnost funkcije

Postod Onomatopeja » Sreda, 14. Avgust 2019, 12:52

Oba zadatka se mogu resiti primenom teorema o srednjoj vrednosti. Za prvi se moze uociti funkcija [inlmath]\displaystyle F(x)=\int_0^{x/3} f(t)dt + \int_{2x/3}^x f(t)dt - 2 \int_{x/3}^{2x/3} f(t)dt[/inlmath]. Tada je [inlmath]F(0)=F(1)=0[/inlmath], pa nam primena Rolove teoreme daje da postoji [inlmath]\xi\in(0,1)[/inlmath] takvo da je [inlmath]F'(\xi)=0[/inlmath]. Kada se nadje izvod, dobija se da je [inlmath]F'(\xi)=f(\xi/3)+f(\xi)-2f(2\xi/3)=0[/inlmath], sto se moze zapisati i kao
[inlmath](f(\xi)-f(2\xi/3))-(f(2\xi/3)-f(\xi/3))=0[/inlmath]. Sada na svaku od ovih zagrada primeni teoremu Langranža (na intervale [inlmath](2\xi/3,\xi)[/inlmath] i [inlmath](\xi/3,2\xi/3)[/inlmath]) i rezultat ce slediti uz malo rada.

Za drugi, moze se primeniti Tejlorov razvoj oko tachke [inlmath]0[/inlmath] za [inlmath]\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}[/inlmath], kada se dobija da je [inlmath]f(\frac12)=\frac{f''(c)}{2}(\frac12-0)^2[/inlmath] za neko [inlmath]c\in [0,\frac12][/inlmath], odakle je [inlmath]f''(c)=8f(\frac12)[/inlmath]. Slicno, primenom Tejlorovog razvoja oko tacke [inlmath]1[/inlmath] za [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], dobija se sada da postoji [inlmath]d\in [\frac12,1][/inlmath] takvo da je [inlmath]f''(d)=8(f(\frac12)-1)[/inlmath]. Spajajuci te dve jednacine dobija se [inlmath]\frac{f''(c)-f''(d)}{2}=4[/inlmath]. I sada se mogu desiti dve mogucnosti: ili je [inlmath]|f''(c)|\ge |f''(d)|[/inlmath], kada se moze izvesti da vazi [inlmath]|f''(c)|\ge 4[/inlmath] (na primer, tada je [inlmath]\displaystyle |f''(c)|\ge \frac{|f''(c)|+|f''(d)|}{2}\ge \frac{|f''(c)-f''(d)|}{2} = 4[/inlmath]), ili je [inlmath]|f''(c)|< |f''(d)|[/inlmath] odakle ponovo slicno mozemo dobiti da je [inlmath]|f''(d)|> 4[/inlmath]. Dakle, u bilo kojem od ta dva slucaja vidimo da postoji nase trazeno [inlmath]x_0[/inlmath].
 
Postovi: 596
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 564 puta

Re: Teorijski zadaci – diferencijabilnost funkcije

Postod Vv123 » Utorak, 20. Avgust 2019, 08:49

Pretpostavljam da se do funkcije [inlmath]F(x)[/inlmath] doslo na sledeci nacin:
[dispmath]\int\limits_0^1f(x)\,\mathrm dx=3\int\limits_\frac{1}{3}^\frac{2}{3}f(x)\,\mathrm dx\\
\int\limits_0^1f(x)\,\mathrm dx-2\int\limits_\frac{1}{3}^\frac{2}{3}f(x)\,\mathrm dx-\int\limits_\frac{1}{3}^\frac{2}{3}f(x)\,\mathrm dx=0\\
\int\limits_0^\frac{1}{3}f(x)\,\mathrm dx+\int\limits_\frac{1}{3}^\frac{2}{3}f(x)\,\mathrm dx+\int\limits_\frac{2}{3}^1f(x)\,\mathrm dx-2\int\limits_\frac{1}{3}^\frac{2}{3}f(x)\,\mathrm dx-\int\limits_\frac{1}{3}^\frac{2}{3}f(x)\,\mathrm dx=0\\
\int\limits_0^\frac{1}{3}f(x)\,\mathrm dx+\int\limits_\frac{2}{3}^1f(x)\,\mathrm dx-2\int\limits_\frac{1}{3}^\frac{2}{3}f(x)\,\mathrm dx=0[/dispmath] I onda uvrstavanjem [inlmath]x[/inlmath] i stavljanjem druge promenljive (u ovom slucaju [inlmath]t[/inlmath]) u podintegralnu funkciju dobijamo [inlmath]\int\limits_0^\frac{x}{3}f(t)\,\mathrm dt+\int\limits_\frac{2x}{3}^xf(t)\,\mathrm dt-2\int\limits_\frac{x}{3}^\frac{2x}{3}f(t)\,\mathrm dt=0[/inlmath].
Vv123  OFFLINE
 
Postovi: 25
Zahvalio se: 7 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 23. Novembar 2019, 02:32 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs