Gamma je napisao:Kao prvo šta je to složena funkcija? Koliko sam ja to shvatio to je elementarna funkcija koja ima neki dodatak uz sebe npr [inlmath]\sin 3x[/inlmath] i [inlmath]3\sin x[/inlmath] a nesložena funckija je [inlmath]\sin x[/inlmath].
Definicija složene funkcije [inlmath]h[/inlmath] glasi: ako postoji funkcija [inlmath]f:\:A\to B[/inlmath] i funkcija [inlmath]g:\:B\to C[/inlmath], tada funkcija [inlmath]h:\:A\to C[/inlmath] za koju važi [inlmath]h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)[/inlmath] za svako [inlmath]x\in A[/inlmath] predstavlja složenu funkciju, dobijenu kompozicijom funkcija [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath].
Ako tu definiciju primenimo na tvoje primere,
[dispmath]h\left(x\right)=\sin 3x:\quad f\left(x\right)=3x,\;g\left(x\right)=\sin x\quad\Rightarrow\quad h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(3x\right)=\sin 3x[/dispmath][dispmath]h\left(x\right)=3\sin x:\quad f\left(x\right)=\sin x,\;g\left(x\right)=3x\quad\Rightarrow\quad h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(\sin x\right)=3\sin x[/dispmath]
Striktno gledano, iz prethodne definicije bi sledilo da svaka funkcija može da se posmatra kao složena, ako se uzme da je [inlmath]f\left(x\right)=x[/inlmath] i [inlmath]g\left(x\right)=h\left(x\right)[/inlmath] (ili obratno, da je [inlmath]f\left(x\right)=h\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]g\left(x\right)=x[/inlmath]):
[dispmath]h\left(x\right)=\sin x:\quad f\left(x\right)=x,\;g\left(x\right)=\sin x\quad\Rightarrow\quad h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(x\right)=\sin x[/dispmath]
ili
[dispmath]h\left(x\right)=\sin x:\quad f\left(x\right)=\sin x,\;g\left(x\right)=x\quad\Rightarrow\quad h\left(x\right)=g\left(f\left(x\right)\right)=g\left(\sin x\right)=\sin x[/dispmath]
ali to bi, naravno, bilo nepotrebno komplikovanje.
Gamma je napisao:Da li je izvod složene funkcije poznat kao "Chain Rule"?
Da.
Gamma je napisao:Tražio sam izvođenja za izvod složene funkcije i došao sam do ovoga što mi nije jasno
[dispmath](f\circ g)'_{(a)}=f'(g(a))\cdot g'(a)[/dispmath]
[dispmath](f\circ g)'_{(a)}=\lim_{h\to 0}\frac{f(g(a)+\Delta h)-f(g(a))}{\Delta h}\cdot\frac{\Delta h}{h}[/dispmath][dispmath](f\circ g)'_{(a)}=\lim_{ h\to 0}\frac{f(g(a)+\Delta h)-f(g(a))}{\Delta h}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\Delta h}{h}[/dispmath][dispmath](f\circ g)'_{(a)}=\lim_{ h\to 0}\frac{f(g(a)+\Delta h)-f(g(a))}{\Delta h}\cdot\lim_{h\to 0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{(f\circ g)'_{(a)}=f'(g(a))\cdot g'(a)}[/dispmath]
Kod ovoga izvođenja mi nije jasno kako odjednom ubaci [inlmath]\frac{\Delta h}{h}[/inlmath] i otkud [inlmath]h[/inlmath] u ovome svemu?
Zapravo se [inlmath]\left(f\circ g\right)'_{\left(a\right)}[/inlmath] traži kao
[dispmath]\left(f\circ g\right)'_{\left(a\right)}=\left(f\left(g\left(a\right)\right)\right)'_{\left(a\right)}=\lim_{h\to 0}\frac{f\left(g\left(a+h\right)\right)-f\left(g\left(a\right)\right)}{h}[/dispmath]
a oni su još u prvom koraku sa [inlmath]\Delta h[/inlmath] označili priraštaj funkcije [inlmath]g[/inlmath], tj. [inlmath]g\left(a+h\right)=g\left(a\right)+\Delta h[/inlmath], pa su tako dobili
[dispmath]\left(f\circ g\right)'_{\left(a\right)}=\lim_{h\to 0}\frac{f\left(g\left(a\right)+\Delta h\right)-f\left(g\left(a\right)\right)}{h}[/dispmath]
i onda kad su taj razlomak pomnožili sa [inlmath]\frac{\Delta h}{\Delta h}[/inlmath], došli su do izraza u prvom koraku,
[dispmath]\left(f\circ g\right)'_{\left(a\right)}=\lim_{h\to 0}\frac{f\left(g\left(a\right)+\Delta h\right)-f\left(g\left(a\right)\right)}{\Delta h}\cdot\frac{\Delta h}{h}[/dispmath]
i, kad to znaš, mislim da ti je lako da onda do kraja ispratiš taj postupak...