Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Diferencijabilna funkcija

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]

Diferencijabilna funkcija

Postod DulleX » Subota, 07. Februar 2015, 00:02

Zadatak glasi:

Neka je [inlmath]f[/inlmath] diferencijabilna funkcija na [inlmath][0,1][/inlmath] pri cemu je [inlmath]f'(0)=1[/inlmath] i [inlmath]f'(1)=0[/inlmath]. Dokazati da postoji [inlmath]c[/inlmath] koje pripada [inlmath][0,1][/inlmath] takvo da je [inlmath]f'(c)=f(c)[/inlmath].

Jos ovaj zadatak mi nije jasan. Pretpostavljam da se treba koristiti Lagranzova teorema,ali ne znam kako. Hvala na odgovoru na prethodni zadatak,puno ste pomogli,i izvinjavam se zbog dvije brze teme i toga sto jos ucim da pisem u latexu.
DulleX  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Diferencijabilna funkcija

Postod ubavic » Nedelja, 08. Februar 2015, 14:59

Da li si ispravno napisao ceo zadatak?
Ovako formulisano tvrđenje nije tačno. Evo kontraprimera: [inlmath]f(x)=-\frac{1}{2}x^2+x-1[/inlmath]. Funkcija zadovoljava uslove tvrđenja, ali ni za jedan broj iz intervala [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath] ova funkcija i njen izvod nemaju istu vrednost. Evo još jednog primera (mada i jedan je sasvim dovoljan): [inlmath]f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+x-1[/inlmath]
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 623
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 641 puta

Re: Diferencijabilna funkcija

Postod DulleX » Nedelja, 08. Februar 2015, 19:05

U pravu ste,izvinjavam se. Zadnji uslov je [inlmath]f'(c)=c[/inlmath]. :/
DulleX  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Diferencijabilna funkcija

Postod ubavic » Nedelja, 08. Februar 2015, 19:15

Ponovo nešto nije ispravno. Kao što rekoh, ne mora biti ispunjen uslov [inlmath]f'(c)=f(c)[/inlmath], a kamoli [inlmath]c=f'(c)=f(c)[/inlmath]. Proveri još jednom zadatak. Da nisu date vrednosti same funkcije za [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]x=1[/inlmath]?
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 623
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 641 puta

Re: Diferencijabilna funkcija

Postod DulleX » Nedelja, 08. Februar 2015, 19:26

U stvari ne, treba ovaj uslov koji sam prvi stavio. Mada sam nasao u zbirci Merkle isti ovakav zadatak,samo sto je zadnji uslov ovaj kako sam se maloprije pokusao ispraviti. Sad sam zbunjen da li je mozda profesor pogrijesio kad je davao zadatak. Pih..
DulleX  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Diferencijabilna funkcija

Postod DulleX » Nedelja, 08. Februar 2015, 19:30

Neka je [inlmath]f[/inlmath] diferencijabilna funkcija na [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath], pri čemu je [inlmath]f'\left(0\right)=1[/inlmath] i [inlmath]f'\left(1\right)=0[/inlmath]. Dokazati da postoji [inlmath]c\in\left(0,1\right)[/inlmath] tako da je [inlmath]f'\left(c\right)=c[/inlmath].

Rešenje. Posmatrajmo pomoćnu funkciju [inlmath]F[/inlmath] definisanu sa [inlmath]F\left(x\right)=f\left(x\right)−\frac{x^2}{2}[/inlmath].
Imamo da je [inlmath]F'\left(x\right)=f'\left(x\right)−x[/inlmath], pa je [inlmath]F'\left(0\right)=1[/inlmath] i [inlmath]F'\left(1\right)=−1[/inlmath]. Kako je funkcija [inlmath]F[/inlmath] neprekidna na [inlmath]\left[0,1\right][/inlmath], ona dostiže maksimum na tom segmentu. Zbog [inlmath]F'\left(0\right)>0[/inlmath] i [inlmath]F'\left(1\right)<0[/inlmath], tačke [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] nisu tačke maksimuma, pa se on dostiže u nekoj tački [inlmath]c\in\left(0,1\right)[/inlmath]; prema Fermat-ovoj teoremi je [inlmath]F'\left(c\right)=0[/inlmath], odnosno [inlmath]f'\left(c\right)=c[/inlmath].



http://www.milanmerkle.com/documents/1- ... insert.pdf
[inlmath]511.[/inlmath] zadatak u Merkleovoj zbirci,uradjen sa uslovom [inlmath]f'(c)=c[/inlmath].

Nije interval [inlmath][0,1][/inlmath],nego [inlmath](0,1)[/inlmath],ako to nesto znaci. To je jedina greska.
Poslednji put menjao Daniel dana Nedelja, 08. Februar 2015, 19:52, izmenjena samo jedanput
Razlog: Prekucavanje teksta zadatka i rešenja iz zbirke
DulleX  OFFLINE
 
Postovi: 6
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 1 puta


Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 28 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 11:19 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs