Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Najmanja vrednost trigonometrijske funkcije

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]

Najmanja vrednost trigonometrijske funkcije

Postod kristinaaa » Nedelja, 29. Mart 2015, 19:47

Najmanja vrednost funkcije je:
[dispmath]F(x)=\cos x+\sin x[/dispmath]
Znam da nadjem prvi izvod i kasnije preko polovine ugla sve prebacim u kosinus,ali ako moze pomoc kako dalje :)
 
Postovi: 66
Zahvalio se: 81 puta
Pohvaljen: 6 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Najmanja vrednost trigonometrijske funkcije

Postod Sinisa » Nedelja, 29. Mart 2015, 19:55

Kada nadjes prvi izvod onda ga izjednacis sa nulom i kasnije nadjes drugi izvod kako bi provjerila da li se zaista radi o minimumu, u ovom primjeru ne moras sve pretvarati u kosinus ili sinus... rjesenje je ocigledno [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Najmanja vrednost trigonometrijske funkcije

Postod kristinaaa » Nedelja, 29. Mart 2015, 19:59

Resenje je [inlmath]-\sqrt2[/inlmath] i to me zbunjuje
 
Postovi: 66
Zahvalio se: 81 puta
Pohvaljen: 6 puta

Re: Najmanja vrednost trigonometrijske funkcije

Postod Sinisa » Nedelja, 29. Mart 2015, 20:09

da, preko prvog izvoda mozes dobiti maximum, ali ako je maximum [inlmath]\sqrt2[/inlmath] onda toliki mora biti i minimum (samo sa negativnim predznakom)... ovo mozes zakljuciti kada pogledas trig. kruznicu, u prvom kvadrantu se nalazi maximum a u trecem minimum (ako je u pitanju sabiranje) i oni imaju jednake apsolutne vrijednosti...
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Najmanja vrednost trigonometrijske funkcije

Postod kristinaaa » Nedelja, 29. Mart 2015, 20:12

Razumela sam to za prvi izvod ali nikako ne mogu da dodjem do resenja,samo do onog dela kada izjednacim sa nulom,kako dalje onda :facepalm:
 
Postovi: 66
Zahvalio se: 81 puta
Pohvaljen: 6 puta

Re: Najmanja vrednost trigonometrijske funkcije

Postod Sinisa » Nedelja, 29. Mart 2015, 20:16

dobijes sledece: (ovo dobijes nakon sto nadjes prvi izvod pocetnog izraza)
[inlmath]\sin x-\cos x=0\\
\sin x=\cos x[/inlmath]
[inlmath]x_1=\frac{\pi}{4}[/inlmath] - maximum
[inlmath]x_2=\frac{5\pi}{4}[/inlmath] - minimum

kada ova rjesenja uvrstis u pocetnu jednacinu vidjeces koja je maximalna vrijednost izraza a koja minimalna :)
Sinisa  OFFLINE
 
Postovi: 628
Zahvalio se: 74 puta
Pohvaljen: 399 puta

Re: Najmanja vrednost trigonometrijske funkcije

Postod kristinaaa » Nedelja, 29. Mart 2015, 20:23

Hvalaa ti punoo :D
 
Postovi: 66
Zahvalio se: 81 puta
Pohvaljen: 6 puta

Re: Najmanja vrednost trigonometrijske funkcije

Postod desideri » Nedelja, 29. Mart 2015, 23:19

Potvrđujem rešenje da je najmanja vrednost funkcije [inlmath]F(x)=\cos x+\sin x[/inlmath] jednaka: [inlmath]-\sqrt2[/inlmath].
@Sinisa je u pravu za [inlmath]x=\frac{5\pi}{4}[/inlmath] ali tu je još potrebno dopisati [inlmath]\pm2k\pi[/inlmath]
Inače, izraz tj. funkcija [inlmath]F(x)=\cos x+\sin x[/inlmath] može da se transformiše preko adicione formule (i to se često koristi) u:
[dispmath]\cos x+\sin x=\frac{2}{\sqrt2}\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos x+\frac{\sqrt2}{2}\sin x\right)=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath]
To znači da je sada:
[dispmath]F(x)=\cos x+\sin x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath]
Izvod ove funkcije je:
[dispmath]F^{'}(x)=\sqrt2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath]
Ovo u zagradi (argument kosinusa) izjednači se ili sa [inlmath]\frac{\pi}{2}\pm2k\pi[/inlmath] ili sa [inlmath]\frac{3\pi}{2}\pm2k\pi[/inlmath], jer je tada kosinus jednak nuli.
Dobija se:
[dispmath]x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\pm2k\pi\;\Rightarrow\;x=\frac{\pi}{4}\pm2k\pi[/dispmath][dispmath]x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{2}\pm2k\pi\;\Rightarrow\;x=\frac{5\pi}{4}\pm2k\pi[/dispmath]
Prvi slučaj daje maksimalnu vrednost date funkcije [inlmath]F(x)=\cos x+\sin x[/inlmath] koja iznosi [inlmath](\sqrt2)[/inlmath] a drugi minimalnu vrednost date funkcije [inlmath]F(x)=\cos x+\sin x[/inlmath] koja iznosi [inlmath](-\sqrt2)[/inlmath].
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

Re: Najmanja vrednost trigonometrijske funkcije

Postod Daniel » Nedelja, 29. Mart 2015, 23:50

Može i jednostavnije, nema nikakve potrebe za traženjem prvog izvoda. :)
Već iz oblika
[dispmath]F\left(x\right)=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath]
jasno je da, pošto sinus pripada intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath], tada [inlmath]F\left(x\right)[/inlmath], pošto je to vrednost sinusa pomnožena sa [inlmath]\sqrt2[/inlmath], mora pripadati intevalu [inlmath]\left[-\sqrt2,\sqrt2\right][/inlmath].
Dakle, minimalna vrednost je [inlmath]-\sqrt2[/inlmath], a maksimalna (koja se ne traži, al' eto) [inlmath]\sqrt2[/inlmath]. :)



Inače, postoji i drugi način da se izraz [inlmath]\cos x+\sin x[/inlmath] transformiše.
[inlmath]\cos x[/inlmath] se napiše kao [inlmath]\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/inlmath], a zatim se primeni formula za transformaciju zbira sinusa u proizvod.
Može i da se [inlmath]\sin x[/inlmath] napiše kao [inlmath]\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)[/inlmath], a da se zatim primeni formula za transformaciju zbira kosinusa u proizvod. Potpuno svejedno.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Najmanja vrednost trigonometrijske funkcije

Postod kad » Petak, 03. Jun 2016, 05:27

Koja je to formula koriscena da dobijemo
[dispmath]\cos x+\sin x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/dispmath]
Poslednji put menjao Daniel dana Petak, 03. Jun 2016, 10:28, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latex-koda – dodati backslashovi (\) pre „sin“ i „cos“
kad  OFFLINE
 
Postovi: 52
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 2 puta

Sledeća

Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 35 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 12:35 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs