Zdravo! Imam problem sa dokazom jednog Lopitalovog pravila i nadam se da mi možete pomoći (izvinjavam se ako je post preveliki). To pravilo je sledeće:
Neka su [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] diferencijabilne funkcije u intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath] i pri tome [inlmath]g'(x)\ne0[/inlmath] za [inlmath]x\in(a,b)[/inlmath] i neka je [inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty[/inlmath]. Ako postoji[inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/inlmath], onda postoji i [inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}[/inlmath] i važi jednakost:
[dispmath]\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/dispmath]
Napomena: Ovo [inlmath]a^+[/inlmath] mi označava da [inlmath]x[/inlmath] teži ka [inlmath]a[/inlmath] sa desne strane tog [inlmath]a[/inlmath] (znam da ima više načina za obeležavanje, pa da ne bude zabune).
Dakle, u knjizi gde je navedeno ovo pravilo , naveden je i njegov dokaz, i ja ne razumem samo jednu rečenicu tog dokaza (mislim, ne znam zašto važi ta rečenica), koja povezuje dve polovine tog dokaza. Dokaz je sledeći:
Neka je [inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=p,\;(p\in\mathbb{R},\;p\ne0)[/inlmath] i neka je [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath]. Izaberimo tačke [inlmath]x,x_1[/inlmath] tako da je [inlmath]a<x<x_1<b[/inlmath]. Na osnovu Košijeve teoreme ( za dve funkcije, neprekidne na segmentu [inlmath][a,b][/inlmath] i diferencijabilne na intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath]) sledi da postoji [inlmath]c\in(x,x_1)[/inlmath] tako da je:
[dispmath]\frac{f(x_1)-f(x)}{g(x_1)-g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}[/dispmath]
što je ekvivalentno sledećem izrazu
[dispmath](*)\quad\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\cdot\frac{1-\frac{g(x_1)}{g(x)}}{1-\frac{f(x_1)}{f(x)}}[/dispmath]
Zatim važi sledeća implikacija: [inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=p\;\Rightarrow\;[/inlmath] Za [inlmath]\frac{\varepsilon}{2+\varepsilon}>0,\quad\exists x_1[/inlmath], tako da je [inlmath]\left|\frac{f'(c)}{g'(c)}-p\right|<\frac{\varepsilon}{2+\varepsilon}\quad\big(c\in(x,x_1)\big)[/inlmath].
Eto, meni je do ovde sve jasno (dobio sam i formulu zvezdica, nekako), ali sledeća rečenica mi nije jasna:
Iz [inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty[/inlmath] sledi da se za [inlmath]\mu=\min\left\{\frac{\varepsilon}{2},\frac{\varepsilon}{2|p|}\right\}[/inlmath] može naći [inlmath]\delta>0[/inlmath] tako da je
[dispmath](1)\quad\left|\frac{1-\frac{g(x_1)}{g(x)}}{1-\frac{f(x_1}{f(x)}}-1\right|<\mu,\quad a<x<a+\delta,\;x<x_1[/dispmath]
Možete li mi reći zašto se za takvo [inlmath]\mu[/inlmath] može naći to [inlmath]\delta>0[/inlmath], tako da važi nejednakost [inlmath](1)[/inlmath]?