Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Lopitalova pravila

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]
  • +1

Lopitalova pravila

Postod Gogele » Subota, 25. Jul 2015, 10:29

Zdravo! Imam problem sa dokazom jednog Lopitalovog pravila i nadam se da mi možete pomoći (izvinjavam se ako je post preveliki). To pravilo je sledeće:

Neka su [inlmath]f[/inlmath] i [inlmath]g[/inlmath] diferencijabilne funkcije u intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath] i pri tome [inlmath]g'(x)\ne0[/inlmath] za [inlmath]x\in(a,b)[/inlmath] i neka je [inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty[/inlmath]. Ako postoji[inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/inlmath], onda postoji i [inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}[/inlmath] i važi jednakost:
[dispmath]\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/dispmath]
Napomena: Ovo [inlmath]a^+[/inlmath] mi označava da [inlmath]x[/inlmath] teži ka [inlmath]a[/inlmath] sa desne strane tog [inlmath]a[/inlmath] (znam da ima više načina za obeležavanje, pa da ne bude zabune).

Dakle, u knjizi gde je navedeno ovo pravilo , naveden je i njegov dokaz, i ja ne razumem samo jednu rečenicu tog dokaza (mislim, ne znam zašto važi ta rečenica), koja povezuje dve polovine tog dokaza. Dokaz je sledeći:

Neka je [inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=p,\;(p\in\mathbb{R},\;p\ne0)[/inlmath] i neka je [inlmath]\varepsilon>0[/inlmath]. Izaberimo tačke [inlmath]x,x_1[/inlmath] tako da je [inlmath]a<x<x_1<b[/inlmath]. Na osnovu Košijeve teoreme ( za dve funkcije, neprekidne na segmentu [inlmath][a,b][/inlmath] i diferencijabilne na intervalu [inlmath](a,b)[/inlmath]) sledi da postoji [inlmath]c\in(x,x_1)[/inlmath] tako da je:
[dispmath]\frac{f(x_1)-f(x)}{g(x_1)-g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}[/dispmath]
što je ekvivalentno sledećem izrazu
[dispmath](*)\quad\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}\cdot\frac{1-\frac{g(x_1)}{g(x)}}{1-\frac{f(x_1)}{f(x)}}[/dispmath]
Zatim važi sledeća implikacija: [inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=p\;\Rightarrow\;[/inlmath] Za [inlmath]\frac{\varepsilon}{2+\varepsilon}>0,\quad\exists x_1[/inlmath], tako da je [inlmath]\left|\frac{f'(c)}{g'(c)}-p\right|<\frac{\varepsilon}{2+\varepsilon}\quad\big(c\in(x,x_1)\big)[/inlmath].
Eto, meni je do ovde sve jasno (dobio sam i formulu zvezdica, nekako), ali sledeća rečenica mi nije jasna:

Iz [inlmath]\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}g(x)=\infty[/inlmath] sledi da se za [inlmath]\mu=\min\left\{\frac{\varepsilon}{2},\frac{\varepsilon}{2|p|}\right\}[/inlmath] može naći [inlmath]\delta>0[/inlmath] tako da je
[dispmath](1)\quad\left|\frac{1-\frac{g(x_1)}{g(x)}}{1-\frac{f(x_1}{f(x)}}-1\right|<\mu,\quad a<x<a+\delta,\;x<x_1[/dispmath]
Možete li mi reći zašto se za takvo [inlmath]\mu[/inlmath] može naći to [inlmath]\delta>0[/inlmath], tako da važi nejednakost [inlmath](1)[/inlmath]?
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Lopitalova pravila

Postod desideri » Nedelja, 26. Jul 2015, 15:34

Ovo je "suva teorija", no svejedno zaslužuje pažnju.
Svideo mi se tvoj pristup, gde navedeš sve, uz literaturu, svoja pojašnjenja, te jedino pitaš šta je tu nejasno. :thumbup:
U ovom predahu od zadataka (bilo da su u pitanju ispitni rokovi na fakultetima, bilo da su prošli prijemni ispiti itd.) dobro nam dođe i malo teorije na Matemaniji. :)
Autori koje navodiš su, po mom mišljenju, zakomplikovali dokaz.
Ima jednostavnijih dokaza čuvenog L'Hospital-ovog pravila.
Ali, ako je tako u knjizi, tako su predavali i polažeš kod njih, onda treba to razumeti i tako im prezentovati na usmenom delu ispita.
Ne bih odmah postovao ono što su, po mom mišljenju, "pisci hteli da kažu".

Predlažem dve stvari:
1. Prouči dobro definiciju prvog izvoda funkcije i definiciju granične vrednosti funkcije. Još jednom, iz iste knjige. Da li se tu pominju grčka slova, ista ili slična, kao slova pomenuta u dokazu ovog pravila? Koje slovo bi kome slovu odgovaralo? Autori znaju da zbune uvođenjem sve novih i novih slova.

2. Prouči dokaz L'Hospital-ovog pravila u specijalnom slučaju, kako je nama jedan vrhunski profesor (davno beše, srednja škola, MG) objašnjavao:
[inlmath]f(a)=0;\quad g(a)=0;\quad f'(a)[/inlmath] postoji; [inlmath]\quad g'(a)[/inlmath]postoji;
Tada važi:
[dispmath]\frac{f'(a)}{g'(a)}=\frac{\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim\limits_{x\to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-\cancelto{0}{f(a)}}{g(x)-\cancelto{0}{g(a)}}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}[/dispmath]
Naravno da je ovo specijalan slučaj, no molim te da razmisliš i o ovome, ovo nije "desni" nego opšti limes. I jednostavno je, a najbolje stvari u matematici su, zapravo, najjednostavnije i najlogičnije.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta


Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 30 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 14:05 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs