Da, iz jednakosti funkcija slede i jednakosti njihovih izvoda.
To je moguće pokazati preko definicije izvoda,
[dispmath]f'\left(x\right)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}=g'\left(x\right)[/dispmath]
pri čemu smo iskoristili pretpostavku [inlmath]f\left(x\right)=g\left(x\right)[/inlmath], iz koje takođe sledi i jednakost [inlmath]f\left(x+\Delta x\right)=g\left(x+\Delta x\right)[/inlmath].
Grafički to možemo posmatrati ovako: neka imamo dve funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]g\left(x\right)[/inlmath] koje su jednake, odakle sledi da će i njihovi grafici biti identični:
- funkcije1.png (2.6 KiB) Pogledano 396 puta
Sa grafika odmah vidimo da, koju god vrednost promenljive [inlmath]x[/inlmath] da izaberemo, i jedna i druga funkcija će za tako odabranu vrednost [inlmath]x[/inlmath] imati isti nagib u toj tački, a pošto izvod upravo predstavlja nagib funkcije u posmatranoj tački, možemo zaključiti i da će im izvodi biti jednaki.
S druge strane, iz jednakosti izvoda dve funkcije ne sledi nužno i jednakost samih tih funkcija.
Pretpostavimo da važi [inlmath]f'\left(x\right)=g'\left(x\right)[/inlmath]. Odatle po definiciji izvoda imamo
[dispmath]\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}[/dispmath]
ali, iz toga ne možemo nikako zaključiti da nužno važi [inlmath]f\left(x\right)=g\left(x\right)[/inlmath].
A evo i kontraprimera: neka su [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]g\left(x\right)[/inlmath] funkcije takve da za svako [inlmath]x[/inlmath] važi [inlmath]g\left(x\right)=f\left(x\right)+c[/inlmath], gde je [inlmath]c[/inlmath] neka realna konstanta. Tada je
[dispmath]g'\left(x\right)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{g\left(x+\Delta x\right)-g\left(x\right)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)+\cancel c-f\left(x\right)-\cancel c}{\Delta x}=\\
=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}=f'\left(x\right)[/dispmath]
Prema tome, iako funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] i [inlmath]g\left(x\right)[/inlmath] nisu jednake, dobili smo da njihovi izvodi jesu jednaki.
Ako to posmatramo grafički, grafik funkcije [inlmath]g\left(x\right)[/inlmath] imao bi isti oblik kao i grafik funkcije [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath], ali bi u odnosu na njega bio transliran u smeru [inlmath]y[/inlmath]-ose za vrednost konstante [inlmath]c[/inlmath]:
- funkcije2.png (2.15 KiB) Pogledano 396 puta
Prema tome, za svaku vrednost [inlmath]x[/inlmath] rastojanje između grafika ove dve funkcije imalo bi vrednost konstante [inlmath]c[/inlmath]. Međutim, za svaku vrednost [inlmath]x[/inlmath] nagibi jedne i druge funkcije jesu jednaki, bez obzira na nejednakost samih funkcija, te su jednaki i njihovi izvodi.
Upravo zbog toga se prilikom računanja integrala neke funkcije (obrnut proces traženju izvoda) i javlja ona integraciona konstanta [inlmath]c[/inlmath], što znači da rezultat integraljenja nije jednoznačno određena funkcija, već familija krivih međusobno transliranih u smeru [inlmath]y[/inlmath]-ose.
Dakle, važi
[dispmath]f\left(x\right)=g\left(x\right)\;\Longrightarrow\;f'\left(x\right)=g'\left(x\right)[/dispmath]
ali ne važi
[dispmath]f\left(x\right)=g\left(x\right)\iff f'\left(x\right)=g'\left(x\right)[/dispmath]