Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Visina valjka maksimalne zapremine, upisanog u sferu

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]

Visina valjka maksimalne zapremine, upisanog u sferu

Postod Herien Wolf » Utorak, 05. Januar 2016, 13:11

U sferu poluprecnika [inlmath]r=1\text{ cm}[/inlmath] upisan je valjak maksimalne zapremine. Visina tog valjka jednaka je ?
Ja sam ovaj zadatak uradio ali nesto me je zbunilo ako se tako moze reci.
Prvo sam ovako uradio
[dispmath]r=1\text{ cm}\\
H=\sqrt{R^2-x^2}=\sqrt{4-x^2}\\
V=BH\\
V=x^2\pi\sqrt{4-x^2}\\
V'=\pi\frac{\left(-3x^3+8x\right)}{\sqrt{4-x^2}}\\
V'=0\\
x^2=\frac{8}{3}\\
H=\sqrt{4-\frac{8}{3}}=\frac{2\sqrt3}{3}\\[/dispmath]
Ovde sam napravio gresku kod [inlmath]V=x^2\pi\sqrt{4-x^2}[/inlmath] jer [inlmath]B=\frac{x^2}{4}\pi[/inlmath]

Zatim sam uradio na ispravan nacin:
[dispmath]H=\sqrt{R^2-\left(2a\right)^2}=2\sqrt{1-a^2}\\
V=BH\\
V=a^2\pi2\sqrt{1-a^2}\\
V'=\pi\frac{\left(-6a^3+4a\right)}{\sqrt{1-a^2}}\\
V'=0\\
x^2=\frac{2}{3}\\
H=2\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{2\sqrt3}{3}[/dispmath]
Resenja dobijam ista.
Zanima me da li je ovo moguce,ili sam mozda u prvom na pocetnu gresku napravio jos jednu koja ju je da kazem ponistila.
Prikačeni fajlovi
sfera.png
sfera
sfera.png (4.55 KiB) Pogledano 997 puta
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 213 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Visina valjka maksimalne zapremine, upisanog u sferu

Postod Daniel » Utorak, 05. Januar 2016, 13:45

Ta greška u ovom slučaju nema uticaja na tačnost rešenja.

Ovako, s greškom, dobio si da je prvi izvod
[dispmath]V'=\pi\frac{-3x^3+8x}{\sqrt{4-x^2}}[/dispmath]
a da nisi izostavio tu jednu četvrtinu, dobio bi četiri puta manju vrednost izvoda:
[dispmath]V'=\pi\frac{-3x^3+8x}{4\sqrt{4-x^2}}[/dispmath]
Budući da, radi traženja maksimuma zapremine, prvi izvod izjednačavaš s nulom, konstante koje u izvodu figurišu nemaju nikakvog uticaja:
[dispmath]\pi\frac{-3x^3+8x}{\sqrt{4-x^2}}=0[/dispmath][dispmath]\pi\frac{-3x^3+8x}{4\sqrt{4-x^2}}=0[/dispmath]
U oba slučaja (i u pogrešnom i u tačnom postupku) ovo se svodi na [inlmath]-3x^3+8x=0[/inlmath], što daje tačno rešenje.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Visina valjka maksimalne zapremine, upisanog u sferu

Postod Herien Wolf » Utorak, 05. Januar 2016, 14:00

Razumeo :)
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 231
Zahvalio se: 87 puta
Pohvaljen: 213 puta

  • +1

Re: Visina valjka maksimalne zapremine, upisanog u sferu

Postod JohnLocke » Subota, 06. Februar 2016, 14:11

Bio bih slobodan da predlozim drugaciji nacin:
fakticki se vidi iz zadatka [inlmath]1^2=\frac{H^2}{4}+r^2[/inlmath] i sad odatle [inlmath]1-\frac{H^2}{4}=r^2[/inlmath]
i onda znamo [inlmath]V=r^2\pi\cdot H[/inlmath] i naravno [inlmath]V'=0[/inlmath] i zamenimo [inlmath]r^2[/inlmath] i dobijamo sledece
[dispmath]\Biggl(\left(1-\frac{H^2}{4}\right)\cdot H\Biggr)'=0[/dispmath][dispmath]\left(H-\frac{H^3}{4}\right)'=0[/dispmath][dispmath]H'-\left(\frac{H^3}{4}\right)'=0[/dispmath][dispmath]1-\frac{3H^2\cdot4-0}{16}=0[/dispmath][dispmath]16-12H^2=0[/dispmath][dispmath]12H^2=16[/dispmath][dispmath]H^2=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}[/dispmath][dispmath]H=\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3}[/dispmath]
 
Postovi: 90
Zahvalio se: 63 puta
Pohvaljen: 12 puta

  • +1

Re: Visina valjka maksimalne zapremine, upisanog u sferu

Postod Daniel » Subota, 06. Februar 2016, 15:19

JohnLocke je napisao:Bio bih slobodan da predlozim drugaciji nacin:

Uvek budi slobodan da izložiš bilo koji način koji se razlikuje od već pokazanih. :thumbup:

Svakako preporučujem ovaj način na koji si ti radio, jer je bolje (brže, elegantnije), pošto se traži visina, da onda poluprečnik osnove valjka izrazimo preko visine i odatle nađemo visinu, nego da visinu izrazimo preko poluprečnika osnove pa tek kad odredimo poluprečnik osnove onda preko njega računamo visinu, što je suvišan posao. :)

Samo jedna sugestija,
JohnLocke je napisao:[dispmath]H'-\left(\frac{H^3}{4}\right)'=0[/dispmath][dispmath]1-\frac{3H^2\cdot4-0}{16}=0[/dispmath]

Izvod od [inlmath]\displaystyle\frac{H^3}{4}[/inlmath] ne moraš računati kao izvod količnika (nije greška, ali je potpuno nepotrebno). Ovu četvorku u imeniocu ne moramo posmatrati kao funkciju, već kao konstantu, što ona i jeste. I onda ona kao konstanta izađe ispred izvoda, i ostaje
[dispmath]\frac{1}{4}\left(H^3\right)'=\frac{1}{4}\cdot3H^2=\frac{3H^2}{4}[/dispmath]
Eto, mnogo jednostavnije. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot] i 24 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 19:26 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs