Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]

Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Ilija » Četvrtak, 28. Januar 2016, 21:23

Prijemni ispit iz matematike za upis na Elektrotehnički fakultet - jun 2015.
18. zadatak


[inlmath]18.[/inlmath] Tangenta krive [inlmath]y=e^{-x}\;(x>-1)[/inlmath], seče koordinatne ose u tačkama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Ako je [inlmath]O[/inlmath] koordinatni početak, maksimalna površina trougla [inlmath]OAB[/inlmath] iznosi:
[dispmath]\displaystyle(A)\enspace\frac{1}{e}\qquad\enclose{box}{(B)}\enspace\frac{2}{e}\qquad(C)\enspace\frac{3}{e}\qquad(D)\enspace e\qquad(E)\enspace2e\qquad(N)\enspace\text{Ne znam}[/dispmath]
E sad, znam ja kako izgleda funkcija [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath], da će tangenta prolaziti kroz tačke [inlmath]A(x,0)[/inlmath] i [inlmath]B(0,y)[/inlmath], da je trougao pravougli i da je [inlmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{xy}{2}[/inlmath], kao i to da se maksimalna površina [inlmath]\triangle{OAB}[/inlmath] može naći preko izvoda.

Ono što ne znam je, kako odrediti jednačinu te tangente. :think1:
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Onomatopeja » Četvrtak, 28. Januar 2016, 21:31

Da li ti je poznato sta geometrijski predstavlja izvod funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] u tacki [inlmath]x=a[/inlmath] (gde, ne znam, [inlmath]f\colon X\to Y[/inlmath], [inlmath]X,Y\subseteq\mathbb{R}[/inlmath] i [inlmath]a\in X[/inlmath])?
 
Postovi: 598
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 565 puta

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Ilija » Četvrtak, 28. Januar 2016, 23:51

U svakoj tački [inlmath](x_0,y_0)[/inlmath] u kojoj je funkcija diferencijabilna, izvod je nagib tangente na krivu [inlmath]y=f(x)[/inlmath] (interpretirano, što sam učio).

Jednačina tangenta izračunava se po formuli: [inlmath]y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)[/inlmath] (moram priznati da nisam znao za ovu formulu do sad, iako smo radili definiciju izvoda, bla bla... - nađoh je na netu :shock:).



E sad, probao sam da uradim ovako. Uzmem neku proizvoljnu tačku [inlmath]M(x_0,y_0)[/inlmath] u kojoj je funkcija diferencijabilna. Neka to bude tačka [inlmath]\displaystyle M\left(1,\frac{1}{e}\right)[/inlmath]. Jednačina tangente u ovoj tački bila bi:
[dispmath]y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\\
y-\frac{1}{e}=-e^{-1}(x-1)\\
y-\frac{1}{e}=-\frac{1}{e}x+\frac{1}{e}\\
\enclose{box}{y=-\frac{1}{e}x+\frac{2}{e}}[/dispmath]
Odsečak na [inlmath]y[/inlmath] osi biće [inlmath]\displaystyle n=\frac{2}{e}[/inlmath], a na [inlmath]x[/inlmath] osi [inlmath]\displaystyle-\frac{n}{k}=2[/inlmath], odnosno tangenta će prolaziti kroz tačke [inlmath]A(2,0)[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle B\left(0,\frac{2}{e}\right)[/inlmath].
Iz toga sledi da će površina trougla biti jednaka:
[dispmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{xy}{2}=\frac{\cancel2\cdot\frac{2}{e}}{\cancel2}=\enclose{box}{\frac{2}{e}}[/dispmath]


Da li je ovo dobar postupak ili sam slučajno dobio tačno rešenje? :D
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Onomatopeja » Petak, 29. Januar 2016, 00:22

Pa ta formula je posledica geometrijskog tumacenja, jer ako imamo [inlmath]k=f'(x_0)[/inlmath], onda je lako naci samu jednacinu tangente kroz [inlmath](x_0,f(x_0))[/inlmath].

A sad za zadatak, nije dovoljno to sto si ti uradio. Jer ti si pokazao da povrsina moze biti bar [inlmath]\large\frac{2}{e}[/inlmath], ali nista ti ne garantuje da ona ne moze biti veca. Dakle, nije trebalo fiksirati tacku kroz koju posmatramo tangetnu, vec upravo suprotno, tj. pustiti da se ta tacka „šeta“.

Dakle, ako posmatramo tacke [inlmath](x_0,e^{-x_0})[/inlmath], onda su tangente kroz te tacke oblika [inlmath]y=-e^{-x_0}\cdot x+e^{-x_0}(x_0+1)[/inlmath]. Odatle nadjemo te odsecke (oni ce zavisiti od [inlmath]x_0[/inlmath]), a samim tim i povrsina. Tada je jos samo potrebno da maksimiziramo samu povrsinu, a to cemo uraditi tako sto nadjemo maksimum te nove funkcije (funkcije povrsine) po [inlmath]x_0[/inlmath]. Naravno, paziti da je [inlmath]x_0>-1[/inlmath].

EDIT: inace, samo ona tvoja recenica oko tacke [inlmath]M[/inlmath] nije bas usaglasena. Jer si prvo rekao da uzimamo da je ta tacka proizvoljna, a onda neka je [inlmath]M\bigl(1,{\large\frac{1}{e}}\bigr)[/inlmath]. Ali, time smo tu tacku precizirali, tj. izgubili smo proizvoljnost.
 
Postovi: 598
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 565 puta

  • +1

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Ilija » Petak, 29. Januar 2016, 01:02

Onomatopeja je napisao:EDIT: inace, samo ona tvoja recenica oko tacke [inlmath]M[/inlmath] nije bas usaglasena. Jer si prvo rekao da uzimamo da je ta tacka proizvoljna, a onda neka je [inlmath]M\bigl(1,{\large\frac{1}{e}}\bigr)[/inlmath]. Ali, time smo tu tacku precizirali, tj. izgubili smo proizvoljnost.

Htedoh reći da ću uzeti neku konkretnu tačku u kojoj je funkcija diferencijabilna. Možda sam se pogrešno izrazio.



Okej, sada sam razumeo. :D

Dakle, da dopunim. Ako imamo tangente [inlmath]y=-e^{-x_0}\cdot x+e^{-x_0}(x_0+1)[/inlmath] kroz tačke [inlmath]\left(x_0,e^{-x_0}\right)[/inlmath], odsečci na osama biće:
[dispmath]\displaystyle n=e^{-x_0}(x_0+1)[/dispmath][dispmath]\displaystyle-\frac{n}{k}=(x_0+1)[/dispmath]
Na osnovu toga površina će biti jednaka:
[dispmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}(x_0+1)^2}{2}[/dispmath]
Prvi izvod funkcije površine je:
[dispmath]\displaystyle P'_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}\left(1-x_0^2\right)}{2}[/dispmath]
pa će funkcija površine imati maksimum za [inlmath]x_0=1[/inlmath].



I sada treba samo izračunati maksimalnu površinu trougla:
[dispmath]P_{\text{max}}=\frac{e^{-1}(1+1)^2}{2}=\frac{\cancel4}{\cancel2e}=\enclose{box}{\frac{2}{e}}[/dispmath]
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

  • +1

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Daniel » Petak, 29. Januar 2016, 07:21

Ilija je napisao:Jednačina tangenta izračunava se po formuli: [inlmath]y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)[/inlmath] (moram priznati da nisam znao za ovu formulu do sad, iako smo radili definiciju izvoda, bla bla... - nađoh je na netu :shock:).

Nije ti poznavanje te formule neophodno da bi našao jednačinu tangente. Možemo postupiti čisto logički:

e^x.png
e^x.png (1.54 KiB) Pogledano 943 puta

U nekoj posmatranoj tački [inlmath]x_0[/inlmath] izvod krive [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] biće [inlmath]-e^{-x_0}[/inlmath] i, kao što je već i napisano, to će biti i nagib, tj. koeficijent pravca tangente na krivu u toj tački.
Prema tome, jednačina tangente na krivu [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] u nekoj tački [inlmath]x_0[/inlmath] biće oblika [inlmath]y=-e^{-x_0}x+n[/inlmath], gde je [inlmath]n[/inlmath] slobodan član koji nam je ostalo da odredimo.

Slobodan član [inlmath]n[/inlmath] odredimo na osnovu činjenice da tačka dodira tangente i krive [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] mora pripadati i krivoj [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] i tangenti na tu krivu. To je tačka [inlmath]\left(x_0,e^{-x_0}\right)[/inlmath].
Prema tome, u jednačinu tangente [inlmath]y=-e^{-x_0}x+n[/inlmath] uvrstimo [inlmath]x=x_0[/inlmath] i [inlmath]y=e^{-x_0}[/inlmath] i odatle odredimo i [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]y=-e^{-x_0}x+n\\
e^{-x_0}=-e^{-x_0}x_0+n\\
n=e^{-x_0}x_0+e^{-x_0}\\
n=e^{-x_0}\left(x_0+1\right)[/dispmath]
i, na kraju, to samo uvrstimo u jednačinu [inlmath]y=-e^{-x_0}x+n[/inlmath], čime dobijamo jednačinu tangente u tački [inlmath]x_0[/inlmath]:
[dispmath]y=-e^{-x_0}x+e^{-x_0}\left(x_0+1\right)[/dispmath]


Nego, što da se malo ne igramo pa da proširimo ovaj zadatak? :)

U originalnom zadatku zadati uslov je bio [inlmath]x>-1[/inlmath]. Ajmo sad da nađemo maksimalne površine uz uslov:
  • [inlmath]x>-\frac{3}{2}[/inlmath]
  • [inlmath]x>-2[/inlmath]
i da zatim dobijenu maksimalnu površinu pri svakom od ta dva uslova uporedimo s maksimalnom površinom pri originalnom uslovu [inlmath]x>-1[/inlmath]. ;)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7774
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4142 puta

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Daniel » Utorak, 02. Februar 2016, 10:37

Malo ću da pripomognem. :)
Za uslov [inlmath]x>-\frac{3}{2}[/inlmath] dobije se da je maksimalna površina trougla jednaka [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath] – dakle, isto kao i za uslov [inlmath]x>-1[/inlmath].
Za uslov [inlmath]x>-2[/inlmath] dobije se da je maksimalna površina trougla jednaka [inlmath]\displaystyle\frac{e^2}{2}[/inlmath].
Želi li neko da malo prokomentariše ove rezultate? :whistle:
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7774
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4142 puta

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Ilija » Utorak, 02. Februar 2016, 11:54

Totalno sam zaboravio da si prosirio ovaj zadatak. Pogledacu danas, pa cu prokomentarisati. :D
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Ilija » Utorak, 02. Februar 2016, 13:36

Pa valjda ce funkcija povrsine [inlmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}(x_0+1)^2}{2}[/inlmath], za sva tri slucaja [inlmath]x>-1[/inlmath], [inlmath]x>-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]x>-2[/inlmath] imati maksimum u [inlmath]x_0=1[/inlmath]. Ne kapiram. :kojik:
The difference between stupidity and genius is that genius has its limits. — Albert Einstein
Ilija  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 504
Zahvalio se: 170 puta
Pohvaljen: 447 puta

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

Postod Daniel » Utorak, 02. Februar 2016, 14:38

Moram da se korigujem – ne uslovi [inlmath]\displaystyle x>-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle x>-2[/inlmath], već uslovi [inlmath]\displaystyle x\ge-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle x\ge-2[/inlmath]. Ovo je vrlo bitno, možemo posle i to da proanaliziramo zbog čega. Al' prvo sad ovo što smo započeli. :)

Ilija je napisao:Pa valjda ce funkcija povrsine [inlmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}(x_0+1)^2}{2}[/inlmath], za sva tri slucaja [inlmath]x>-1[/inlmath], [inlmath]x>-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]x>-2[/inlmath] imati maksimum u [inlmath]x_0=1[/inlmath]. Ne kapiram. :kojik:

Pa, hajd da proverimo. Dakle, za [inlmath]x_0=1[/inlmath] dobije se [inlmath]\displaystyle P_{\triangle OAB}=\frac{2}{e}[/inlmath], to smo izračunali.
Da vidimo sad za [inlmath]x_0=-2[/inlmath] (što bi bila dozvoljena vrednost ako bi važio uslov [inlmath]x\ge-2[/inlmath]:
[dispmath]P_{\triangle OAB}=\frac{e^{-x_0}\left(x_0+1\right)^2}{2}=\frac{e^2\left(-2+1\right)^2}{2}=\frac{e^2}{2}[/dispmath]
A pošto je [inlmath]\displaystyle\frac{e^2}{2}>\frac{2}{e}[/inlmath], sledi da tada [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath] neće biti maksimum zapremine. :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7774
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4142 puta

Sledeća

Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Ponedeljak, 09. Decembar 2019, 08:36 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs