Stranica 1 od 3

Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Četvrtak, 28. Januar 2016, 21:23
od Ilija
Prijemni ispit iz matematike za upis na Elektrotehnički fakultet - jun 2015.
18. zadatak


[inlmath]18.[/inlmath] Tangenta krive [inlmath]y=e^{-x}\;(x>-1)[/inlmath], seče koordinatne ose u tačkama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Ako je [inlmath]O[/inlmath] koordinatni početak, maksimalna površina trougla [inlmath]OAB[/inlmath] iznosi:
[dispmath]\displaystyle(A)\enspace\frac{1}{e}\qquad\enclose{box}{(B)}\enspace\frac{2}{e}\qquad(C)\enspace\frac{3}{e}\qquad(D)\enspace e\qquad(E)\enspace2e\qquad(N)\enspace\text{Ne znam}[/dispmath]
E sad, znam ja kako izgleda funkcija [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath], da će tangenta prolaziti kroz tačke [inlmath]A(x,0)[/inlmath] i [inlmath]B(0,y)[/inlmath], da je trougao pravougli i da je [inlmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{xy}{2}[/inlmath], kao i to da se maksimalna površina [inlmath]\triangle{OAB}[/inlmath] može naći preko izvoda.

Ono što ne znam je, kako odrediti jednačinu te tangente. :think1:

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Četvrtak, 28. Januar 2016, 21:31
od Onomatopeja
Da li ti je poznato sta geometrijski predstavlja izvod funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] u tacki [inlmath]x=a[/inlmath] (gde, ne znam, [inlmath]f\colon X\to Y[/inlmath], [inlmath]X,Y\subseteq\mathbb{R}[/inlmath] i [inlmath]a\in X[/inlmath])?

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Četvrtak, 28. Januar 2016, 23:51
od Ilija
U svakoj tački [inlmath](x_0,y_0)[/inlmath] u kojoj je funkcija diferencijabilna, izvod je nagib tangente na krivu [inlmath]y=f(x)[/inlmath] (interpretirano, što sam učio).

Jednačina tangenta izračunava se po formuli: [inlmath]y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)[/inlmath] (moram priznati da nisam znao za ovu formulu do sad, iako smo radili definiciju izvoda, bla bla... - nađoh je na netu :shock:).



E sad, probao sam da uradim ovako. Uzmem neku proizvoljnu tačku [inlmath]M(x_0,y_0)[/inlmath] u kojoj je funkcija diferencijabilna. Neka to bude tačka [inlmath]\displaystyle M\left(1,\frac{1}{e}\right)[/inlmath]. Jednačina tangente u ovoj tački bila bi:
[dispmath]y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\\
y-\frac{1}{e}=-e^{-1}(x-1)\\
y-\frac{1}{e}=-\frac{1}{e}x+\frac{1}{e}\\
\enclose{box}{y=-\frac{1}{e}x+\frac{2}{e}}[/dispmath]
Odsečak na [inlmath]y[/inlmath] osi biće [inlmath]\displaystyle n=\frac{2}{e}[/inlmath], a na [inlmath]x[/inlmath] osi [inlmath]\displaystyle-\frac{n}{k}=2[/inlmath], odnosno tangenta će prolaziti kroz tačke [inlmath]A(2,0)[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle B\left(0,\frac{2}{e}\right)[/inlmath].
Iz toga sledi da će površina trougla biti jednaka:
[dispmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{xy}{2}=\frac{\cancel2\cdot\frac{2}{e}}{\cancel2}=\enclose{box}{\frac{2}{e}}[/dispmath]


Da li je ovo dobar postupak ili sam slučajno dobio tačno rešenje? :D

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Petak, 29. Januar 2016, 00:22
od Onomatopeja
Pa ta formula je posledica geometrijskog tumacenja, jer ako imamo [inlmath]k=f'(x_0)[/inlmath], onda je lako naci samu jednacinu tangente kroz [inlmath](x_0,f(x_0))[/inlmath].

A sad za zadatak, nije dovoljno to sto si ti uradio. Jer ti si pokazao da povrsina moze biti bar [inlmath]\large\frac{2}{e}[/inlmath], ali nista ti ne garantuje da ona ne moze biti veca. Dakle, nije trebalo fiksirati tacku kroz koju posmatramo tangetnu, vec upravo suprotno, tj. pustiti da se ta tacka „šeta“.

Dakle, ako posmatramo tacke [inlmath](x_0,e^{-x_0})[/inlmath], onda su tangente kroz te tacke oblika [inlmath]y=-e^{-x_0}\cdot x+e^{-x_0}(x_0+1)[/inlmath]. Odatle nadjemo te odsecke (oni ce zavisiti od [inlmath]x_0[/inlmath]), a samim tim i povrsina. Tada je jos samo potrebno da maksimiziramo samu povrsinu, a to cemo uraditi tako sto nadjemo maksimum te nove funkcije (funkcije povrsine) po [inlmath]x_0[/inlmath]. Naravno, paziti da je [inlmath]x_0>-1[/inlmath].

EDIT: inace, samo ona tvoja recenica oko tacke [inlmath]M[/inlmath] nije bas usaglasena. Jer si prvo rekao da uzimamo da je ta tacka proizvoljna, a onda neka je [inlmath]M\bigl(1,{\large\frac{1}{e}}\bigr)[/inlmath]. Ali, time smo tu tacku precizirali, tj. izgubili smo proizvoljnost.

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Petak, 29. Januar 2016, 01:02
od Ilija
Onomatopeja je napisao:EDIT: inace, samo ona tvoja recenica oko tacke [inlmath]M[/inlmath] nije bas usaglasena. Jer si prvo rekao da uzimamo da je ta tacka proizvoljna, a onda neka je [inlmath]M\bigl(1,{\large\frac{1}{e}}\bigr)[/inlmath]. Ali, time smo tu tacku precizirali, tj. izgubili smo proizvoljnost.

Htedoh reći da ću uzeti neku konkretnu tačku u kojoj je funkcija diferencijabilna. Možda sam se pogrešno izrazio.



Okej, sada sam razumeo. :D

Dakle, da dopunim. Ako imamo tangente [inlmath]y=-e^{-x_0}\cdot x+e^{-x_0}(x_0+1)[/inlmath] kroz tačke [inlmath]\left(x_0,e^{-x_0}\right)[/inlmath], odsečci na osama biće:
[dispmath]\displaystyle n=e^{-x_0}(x_0+1)[/dispmath][dispmath]\displaystyle-\frac{n}{k}=(x_0+1)[/dispmath]
Na osnovu toga površina će biti jednaka:
[dispmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}(x_0+1)^2}{2}[/dispmath]
Prvi izvod funkcije površine je:
[dispmath]\displaystyle P'_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}\left(1-x_0^2\right)}{2}[/dispmath]
pa će funkcija površine imati maksimum za [inlmath]x_0=1[/inlmath].



I sada treba samo izračunati maksimalnu površinu trougla:
[dispmath]P_{\text{max}}=\frac{e^{-1}(1+1)^2}{2}=\frac{\cancel4}{\cancel2e}=\enclose{box}{\frac{2}{e}}[/dispmath]

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Petak, 29. Januar 2016, 07:21
od Daniel
Ilija je napisao:Jednačina tangenta izračunava se po formuli: [inlmath]y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)[/inlmath] (moram priznati da nisam znao za ovu formulu do sad, iako smo radili definiciju izvoda, bla bla... - nađoh je na netu :shock:).

Nije ti poznavanje te formule neophodno da bi našao jednačinu tangente. Možemo postupiti čisto logički:

e^x.png
e^x.png (1.54 KiB) Pogledano 2962 puta

U nekoj posmatranoj tački [inlmath]x_0[/inlmath] izvod krive [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] biće [inlmath]-e^{-x_0}[/inlmath] i, kao što je već i napisano, to će biti i nagib, tj. koeficijent pravca tangente na krivu u toj tački.
Prema tome, jednačina tangente na krivu [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] u nekoj tački [inlmath]x_0[/inlmath] biće oblika [inlmath]y=-e^{-x_0}x+n[/inlmath], gde je [inlmath]n[/inlmath] slobodan član koji nam je ostalo da odredimo.

Slobodan član [inlmath]n[/inlmath] odredimo na osnovu činjenice da tačka dodira tangente i krive [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] mora pripadati i krivoj [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] i tangenti na tu krivu. To je tačka [inlmath]\left(x_0,e^{-x_0}\right)[/inlmath].
Prema tome, u jednačinu tangente [inlmath]y=-e^{-x_0}x+n[/inlmath] uvrstimo [inlmath]x=x_0[/inlmath] i [inlmath]y=e^{-x_0}[/inlmath] i odatle odredimo i [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]y=-e^{-x_0}x+n\\
e^{-x_0}=-e^{-x_0}x_0+n\\
n=e^{-x_0}x_0+e^{-x_0}\\
n=e^{-x_0}\left(x_0+1\right)[/dispmath]
i, na kraju, to samo uvrstimo u jednačinu [inlmath]y=-e^{-x_0}x+n[/inlmath], čime dobijamo jednačinu tangente u tački [inlmath]x_0[/inlmath]:
[dispmath]y=-e^{-x_0}x+e^{-x_0}\left(x_0+1\right)[/dispmath]


Nego, što da se malo ne igramo pa da proširimo ovaj zadatak? :)

U originalnom zadatku zadati uslov je bio [inlmath]x>-1[/inlmath]. Ajmo sad da nađemo maksimalne površine uz uslov:
  • [inlmath]x>-\frac{3}{2}[/inlmath]
  • [inlmath]x>-2[/inlmath]
i da zatim dobijenu maksimalnu površinu pri svakom od ta dva uslova uporedimo s maksimalnom površinom pri originalnom uslovu [inlmath]x>-1[/inlmath]. ;)

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 10:37
od Daniel
Malo ću da pripomognem. :)
Za uslov [inlmath]x>-\frac{3}{2}[/inlmath] dobije se da je maksimalna površina trougla jednaka [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath] – dakle, isto kao i za uslov [inlmath]x>-1[/inlmath].
Za uslov [inlmath]x>-2[/inlmath] dobije se da je maksimalna površina trougla jednaka [inlmath]\displaystyle\frac{e^2}{2}[/inlmath].
Želi li neko da malo prokomentariše ove rezultate? :whistle:

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 11:54
od Ilija
Totalno sam zaboravio da si prosirio ovaj zadatak. Pogledacu danas, pa cu prokomentarisati. :D

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 13:36
od Ilija
Pa valjda ce funkcija povrsine [inlmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}(x_0+1)^2}{2}[/inlmath], za sva tri slucaja [inlmath]x>-1[/inlmath], [inlmath]x>-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]x>-2[/inlmath] imati maksimum u [inlmath]x_0=1[/inlmath]. Ne kapiram. :kojik:

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 14:38
od Daniel
Moram da se korigujem – ne uslovi [inlmath]\displaystyle x>-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle x>-2[/inlmath], već uslovi [inlmath]\displaystyle x\ge-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle x\ge-2[/inlmath]. Ovo je vrlo bitno, možemo posle i to da proanaliziramo zbog čega. Al' prvo sad ovo što smo započeli. :)

Ilija je napisao:Pa valjda ce funkcija povrsine [inlmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}(x_0+1)^2}{2}[/inlmath], za sva tri slucaja [inlmath]x>-1[/inlmath], [inlmath]x>-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]x>-2[/inlmath] imati maksimum u [inlmath]x_0=1[/inlmath]. Ne kapiram. :kojik:

Pa, hajd da proverimo. Dakle, za [inlmath]x_0=1[/inlmath] dobije se [inlmath]\displaystyle P_{\triangle OAB}=\frac{2}{e}[/inlmath], to smo izračunali.
Da vidimo sad za [inlmath]x_0=-2[/inlmath] (što bi bila dozvoljena vrednost ako bi važio uslov [inlmath]x\ge-2[/inlmath]:
[dispmath]P_{\triangle OAB}=\frac{e^{-x_0}\left(x_0+1\right)^2}{2}=\frac{e^2\left(-2+1\right)^2}{2}=\frac{e^2}{2}[/dispmath]
A pošto je [inlmath]\displaystyle\frac{e^2}{2}>\frac{2}{e}[/inlmath], sledi da tada [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath] neće biti maksimum zapremine. :)