Ilija je napisao:Jednačina tangenta izračunava se po formuli: [inlmath]y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)[/inlmath]
(moram priznati da nisam znao za ovu formulu do sad, iako smo radili definiciju izvoda, bla bla... - nađoh je na netu ).
Nije ti poznavanje te formule neophodno da bi našao jednačinu tangente. Možemo postupiti čisto logički:
- e^x.png (1.54 KiB) Pogledano 2965 puta
U nekoj posmatranoj tački [inlmath]x_0[/inlmath] izvod krive [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] biće [inlmath]-e^{-x_0}[/inlmath] i, kao što je već i napisano, to će biti i nagib, tj. koeficijent pravca tangente na krivu u toj tački.
Prema tome, jednačina tangente na krivu [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] u nekoj tački [inlmath]x_0[/inlmath] biće oblika [inlmath]y=-e^{-x_0}x+n[/inlmath], gde je [inlmath]n[/inlmath] slobodan član koji nam je ostalo da odredimo.
Slobodan član [inlmath]n[/inlmath] odredimo na osnovu činjenice da tačka dodira tangente i krive [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] mora pripadati i krivoj [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] i tangenti na tu krivu. To je tačka [inlmath]\left(x_0,e^{-x_0}\right)[/inlmath].
Prema tome, u jednačinu tangente [inlmath]y=-e^{-x_0}x+n[/inlmath] uvrstimo [inlmath]x=x_0[/inlmath] i [inlmath]y=e^{-x_0}[/inlmath] i odatle odredimo i [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]y=-e^{-x_0}x+n\\
e^{-x_0}=-e^{-x_0}x_0+n\\
n=e^{-x_0}x_0+e^{-x_0}\\
n=e^{-x_0}\left(x_0+1\right)[/dispmath]
i, na kraju, to samo uvrstimo u jednačinu [inlmath]y=-e^{-x_0}x+n[/inlmath], čime dobijamo jednačinu tangente u tački [inlmath]x_0[/inlmath]:
[dispmath]y=-e^{-x_0}x+e^{-x_0}\left(x_0+1\right)[/dispmath]
Nego, što da se malo ne igramo pa da proširimo ovaj zadatak?
U originalnom zadatku zadati uslov je bio [inlmath]x>-1[/inlmath]. Ajmo sad da nađemo maksimalne površine uz uslov:
- [inlmath]x>-\frac{3}{2}[/inlmath]
- [inlmath]x>-2[/inlmath]
i da zatim dobijenu maksimalnu površinu pri svakom od ta dva uslova uporedimo s maksimalnom površinom pri originalnom uslovu [inlmath]x>-1[/inlmath].