Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Četvrtak, 28. Januar 2016, 21:23
od Ilija
Prijemni ispit iz matematike za upis na Elektrotehnički fakultet - jun 2015.
18. zadatak


[inlmath]18.[/inlmath] Tangenta krive [inlmath]y=e^{-x}\;(x>-1)[/inlmath], seče koordinatne ose u tačkama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Ako je [inlmath]O[/inlmath] koordinatni početak, maksimalna površina trougla [inlmath]OAB[/inlmath] iznosi:
[dispmath]\displaystyle(A)\enspace\frac{1}{e}\qquad\enclose{box}{(B)}\enspace\frac{2}{e}\qquad(C)\enspace\frac{3}{e}\qquad(D)\enspace e\qquad(E)\enspace2e\qquad(N)\enspace\text{Ne znam}[/dispmath]
E sad, znam ja kako izgleda funkcija [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath], da će tangenta prolaziti kroz tačke [inlmath]A(x,0)[/inlmath] i [inlmath]B(0,y)[/inlmath], da je trougao pravougli i da je [inlmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{xy}{2}[/inlmath], kao i to da se maksimalna površina [inlmath]\triangle{OAB}[/inlmath] može naći preko izvoda.

Ono što ne znam je, kako odrediti jednačinu te tangente. :think1:

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Četvrtak, 28. Januar 2016, 21:31
od Onomatopeja
Da li ti je poznato sta geometrijski predstavlja izvod funkcije [inlmath]f(x)[/inlmath] u tacki [inlmath]x=a[/inlmath] (gde, ne znam, [inlmath]f\colon X\to Y[/inlmath], [inlmath]X,Y\subseteq\mathbb{R}[/inlmath] i [inlmath]a\in X[/inlmath])?

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Četvrtak, 28. Januar 2016, 23:51
od Ilija
U svakoj tački [inlmath](x_0,y_0)[/inlmath] u kojoj je funkcija diferencijabilna, izvod je nagib tangente na krivu [inlmath]y=f(x)[/inlmath] (interpretirano, što sam učio).

Jednačina tangenta izračunava se po formuli: [inlmath]y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)[/inlmath] (moram priznati da nisam znao za ovu formulu do sad, iako smo radili definiciju izvoda, bla bla... - nađoh je na netu :shock:).



E sad, probao sam da uradim ovako. Uzmem neku proizvoljnu tačku [inlmath]M(x_0,y_0)[/inlmath] u kojoj je funkcija diferencijabilna. Neka to bude tačka [inlmath]\displaystyle M\left(1,\frac{1}{e}\right)[/inlmath]. Jednačina tangente u ovoj tački bila bi:
[dispmath]y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\\
y-\frac{1}{e}=-e^{-1}(x-1)\\
y-\frac{1}{e}=-\frac{1}{e}x+\frac{1}{e}\\
\enclose{box}{y=-\frac{1}{e}x+\frac{2}{e}}[/dispmath]
Odsečak na [inlmath]y[/inlmath] osi biće [inlmath]\displaystyle n=\frac{2}{e}[/inlmath], a na [inlmath]x[/inlmath] osi [inlmath]\displaystyle-\frac{n}{k}=2[/inlmath], odnosno tangenta će prolaziti kroz tačke [inlmath]A(2,0)[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle B\left(0,\frac{2}{e}\right)[/inlmath].
Iz toga sledi da će površina trougla biti jednaka:
[dispmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{xy}{2}=\frac{\cancel2\cdot\frac{2}{e}}{\cancel2}=\enclose{box}{\frac{2}{e}}[/dispmath]


Da li je ovo dobar postupak ili sam slučajno dobio tačno rešenje? :D

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Petak, 29. Januar 2016, 00:22
od Onomatopeja
Pa ta formula je posledica geometrijskog tumacenja, jer ako imamo [inlmath]k=f'(x_0)[/inlmath], onda je lako naci samu jednacinu tangente kroz [inlmath](x_0,f(x_0))[/inlmath].

A sad za zadatak, nije dovoljno to sto si ti uradio. Jer ti si pokazao da povrsina moze biti bar [inlmath]\large\frac{2}{e}[/inlmath], ali nista ti ne garantuje da ona ne moze biti veca. Dakle, nije trebalo fiksirati tacku kroz koju posmatramo tangetnu, vec upravo suprotno, tj. pustiti da se ta tacka „šeta“.

Dakle, ako posmatramo tacke [inlmath](x_0,e^{-x_0})[/inlmath], onda su tangente kroz te tacke oblika [inlmath]y=-e^{-x_0}\cdot x+e^{-x_0}(x_0+1)[/inlmath]. Odatle nadjemo te odsecke (oni ce zavisiti od [inlmath]x_0[/inlmath]), a samim tim i povrsina. Tada je jos samo potrebno da maksimiziramo samu povrsinu, a to cemo uraditi tako sto nadjemo maksimum te nove funkcije (funkcije povrsine) po [inlmath]x_0[/inlmath]. Naravno, paziti da je [inlmath]x_0>-1[/inlmath].

EDIT: inace, samo ona tvoja recenica oko tacke [inlmath]M[/inlmath] nije bas usaglasena. Jer si prvo rekao da uzimamo da je ta tacka proizvoljna, a onda neka je [inlmath]M\bigl(1,{\large\frac{1}{e}}\bigr)[/inlmath]. Ali, time smo tu tacku precizirali, tj. izgubili smo proizvoljnost.

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Petak, 29. Januar 2016, 01:02
od Ilija
Onomatopeja je napisao:EDIT: inace, samo ona tvoja recenica oko tacke [inlmath]M[/inlmath] nije bas usaglasena. Jer si prvo rekao da uzimamo da je ta tacka proizvoljna, a onda neka je [inlmath]M\bigl(1,{\large\frac{1}{e}}\bigr)[/inlmath]. Ali, time smo tu tacku precizirali, tj. izgubili smo proizvoljnost.

Htedoh reći da ću uzeti neku konkretnu tačku u kojoj je funkcija diferencijabilna. Možda sam se pogrešno izrazio.



Okej, sada sam razumeo. :D

Dakle, da dopunim. Ako imamo tangente [inlmath]y=-e^{-x_0}\cdot x+e^{-x_0}(x_0+1)[/inlmath] kroz tačke [inlmath]\left(x_0,e^{-x_0}\right)[/inlmath], odsečci na osama biće:
[dispmath]\displaystyle n=e^{-x_0}(x_0+1)[/dispmath][dispmath]\displaystyle-\frac{n}{k}=(x_0+1)[/dispmath]
Na osnovu toga površina će biti jednaka:
[dispmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}(x_0+1)^2}{2}[/dispmath]
Prvi izvod funkcije površine je:
[dispmath]\displaystyle P'_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}\left(1-x_0^2\right)}{2}[/dispmath]
pa će funkcija površine imati maksimum za [inlmath]x_0=1[/inlmath].



I sada treba samo izračunati maksimalnu površinu trougla:
[dispmath]P_{\text{max}}=\frac{e^{-1}(1+1)^2}{2}=\frac{\cancel4}{\cancel2e}=\enclose{box}{\frac{2}{e}}[/dispmath]

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Petak, 29. Januar 2016, 07:21
od Daniel
Ilija je napisao:Jednačina tangenta izračunava se po formuli: [inlmath]y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)[/inlmath] (moram priznati da nisam znao za ovu formulu do sad, iako smo radili definiciju izvoda, bla bla... - nađoh je na netu :shock:).

Nije ti poznavanje te formule neophodno da bi našao jednačinu tangente. Možemo postupiti čisto logički:

e^x.png
e^x.png (1.54 KiB) Pogledano 2966 puta

U nekoj posmatranoj tački [inlmath]x_0[/inlmath] izvod krive [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] biće [inlmath]-e^{-x_0}[/inlmath] i, kao što je već i napisano, to će biti i nagib, tj. koeficijent pravca tangente na krivu u toj tački.
Prema tome, jednačina tangente na krivu [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] u nekoj tački [inlmath]x_0[/inlmath] biće oblika [inlmath]y=-e^{-x_0}x+n[/inlmath], gde je [inlmath]n[/inlmath] slobodan član koji nam je ostalo da odredimo.

Slobodan član [inlmath]n[/inlmath] odredimo na osnovu činjenice da tačka dodira tangente i krive [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] mora pripadati i krivoj [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath] i tangenti na tu krivu. To je tačka [inlmath]\left(x_0,e^{-x_0}\right)[/inlmath].
Prema tome, u jednačinu tangente [inlmath]y=-e^{-x_0}x+n[/inlmath] uvrstimo [inlmath]x=x_0[/inlmath] i [inlmath]y=e^{-x_0}[/inlmath] i odatle odredimo i [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]y=-e^{-x_0}x+n\\
e^{-x_0}=-e^{-x_0}x_0+n\\
n=e^{-x_0}x_0+e^{-x_0}\\
n=e^{-x_0}\left(x_0+1\right)[/dispmath]
i, na kraju, to samo uvrstimo u jednačinu [inlmath]y=-e^{-x_0}x+n[/inlmath], čime dobijamo jednačinu tangente u tački [inlmath]x_0[/inlmath]:
[dispmath]y=-e^{-x_0}x+e^{-x_0}\left(x_0+1\right)[/dispmath]


Nego, što da se malo ne igramo pa da proširimo ovaj zadatak? :)

U originalnom zadatku zadati uslov je bio [inlmath]x>-1[/inlmath]. Ajmo sad da nađemo maksimalne površine uz uslov:
  • [inlmath]x>-\frac{3}{2}[/inlmath]
  • [inlmath]x>-2[/inlmath]
i da zatim dobijenu maksimalnu površinu pri svakom od ta dva uslova uporedimo s maksimalnom površinom pri originalnom uslovu [inlmath]x>-1[/inlmath]. ;)

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 10:37
od Daniel
Malo ću da pripomognem. :)
Za uslov [inlmath]x>-\frac{3}{2}[/inlmath] dobije se da je maksimalna površina trougla jednaka [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath] – dakle, isto kao i za uslov [inlmath]x>-1[/inlmath].
Za uslov [inlmath]x>-2[/inlmath] dobije se da je maksimalna površina trougla jednaka [inlmath]\displaystyle\frac{e^2}{2}[/inlmath].
Želi li neko da malo prokomentariše ove rezultate? :whistle:

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 11:54
od Ilija
Totalno sam zaboravio da si prosirio ovaj zadatak. Pogledacu danas, pa cu prokomentarisati. :D

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 13:36
od Ilija
Pa valjda ce funkcija povrsine [inlmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}(x_0+1)^2}{2}[/inlmath], za sva tri slucaja [inlmath]x>-1[/inlmath], [inlmath]x>-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]x>-2[/inlmath] imati maksimum u [inlmath]x_0=1[/inlmath]. Ne kapiram. :kojik:

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 14:38
od Daniel
Moram da se korigujem – ne uslovi [inlmath]\displaystyle x>-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle x>-2[/inlmath], već uslovi [inlmath]\displaystyle x\ge-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle x\ge-2[/inlmath]. Ovo je vrlo bitno, možemo posle i to da proanaliziramo zbog čega. Al' prvo sad ovo što smo započeli. :)

Ilija je napisao:Pa valjda ce funkcija povrsine [inlmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}(x_0+1)^2}{2}[/inlmath], za sva tri slucaja [inlmath]x>-1[/inlmath], [inlmath]x>-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]x>-2[/inlmath] imati maksimum u [inlmath]x_0=1[/inlmath]. Ne kapiram. :kojik:

Pa, hajd da proverimo. Dakle, za [inlmath]x_0=1[/inlmath] dobije se [inlmath]\displaystyle P_{\triangle OAB}=\frac{2}{e}[/inlmath], to smo izračunali.
Da vidimo sad za [inlmath]x_0=-2[/inlmath] (što bi bila dozvoljena vrednost ako bi važio uslov [inlmath]x\ge-2[/inlmath]:
[dispmath]P_{\triangle OAB}=\frac{e^{-x_0}\left(x_0+1\right)^2}{2}=\frac{e^2\left(-2+1\right)^2}{2}=\frac{e^2}{2}[/dispmath]
A pošto je [inlmath]\displaystyle\frac{e^2}{2}>\frac{2}{e}[/inlmath], sledi da tada [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath] neće biti maksimum zapremine. :)

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 15:34
od Ilija
:?: Onda sam ja totalno pogresno shvatio kako se ovaj zadatak radi.

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 20:08
od Daniel
Ne, ne... Ispravno si shvatio i ispravno si ga uradio. Nego je štos u tome da imamo jednu situaciju za uslov [inlmath]x>-1[/inlmath] (koji u originalnom zadatku i jeste zadat), a sasvim drugu situaciju kad [inlmath]x[/inlmath] krene da se smanjuje ispod [inlmath]-1[/inlmath] (što bi se desilo kad bismo proširili uslov ovog zadatka).

Za [inlmath]x_0>-1[/inlmath], što je u originalnom zadatku uvek slučaj zbog uslova [inlmath]x>-1[/inlmath], tangenta prolazi kroz [inlmath]I[/inlmath] kvadrant i trougao se nalazi u [inlmath]I[/inlmath] kvadantu. Za [inlmath]x_0\to-1[/inlmath] tangenta teži obliku [inlmath]y=-ex[/inlmath], tj. teži da prođe kroz koordinatni početak, čime bi se trougao skupio u jednu tačku, što znači da tada površina tog trougla teži nuli. Za [inlmath]x_0\to+\infty[/inlmath] (posmatraj grafik funkcije [inlmath]y=e^{-x}[/inlmath]) tangenta teži da se poklopi s [inlmath]x[/inlmath]-osom, čime površina trougla opet teži nuli. To znači, intuitivno je jasno da površina trougla mora dostići svoj maksimum negde u intervalu [inlmath]x_0\in\left(-1,+\infty\right)[/inlmath].

Dakle, kada bi [inlmath]x_0[/inlmath] dostiglo vrednost [inlmath]-1[/inlmath], imali bismo tangentu kroz koordinatni početak, trougao bi se skupio u tačku, površina bi mu bila nula. Međutim, ako bismo [inlmath]x_0[/inlmath] sad dalje smanjivali, ispod [inlmath]-1[/inlmath], tada bi tangenta prolazila kroz [inlmath]III[/inlmath] kvadrant i imali bismo trougao u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu. Kako [inlmath]x_0\to-\infty[/inlmath], tako bi površina trougla rasla u beskonačnost, te ne bismo mogli govoriti o maksimumu njegove površine.

A evo i kako bi izgleadala zavisnost površine trougla od izabrane tačke [inlmath]x_0[/inlmath]:

Funkcija povrsine.png
Funkcija povrsine.png (1.02 KiB) Pogledano 654 puta

Znači, u originalno postavljenom zadatku posmatramo samo deo od [inlmath]-1[/inlmath] pa nadesno i tu, sasvim očigledno, imamo maksimalnu vrednost (i to onda kada je [inlmath]x_0=1[/inlmath]). Ako bismo posmatrali i deo levo od [inlmath]-1[/inlmath], tada ne bismo mogli govoriti o maksimumalnoj vrednosti, jer tada površina trougla nije ograničena.

Nadam se da sam ti sad ovo malo približio. A ako sam te ipak svime ovime samo bezveze zbunio, onda zaboravi celu ovu priču, sasvim si ispravno uradio zadatak onako kako je originalno postavljen. :)

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 20:24
od Ilija
Daniel je napisao:Za [inlmath]x_0>1[/inlmath], što je u originalnom zadatku uvek slučaj zbog uslova [inlmath]x>-1[/inlmath]...

Pa kako je onda povrsina maksimalna upravo za [inlmath]x_0=1[/inlmath], ako vazi da je [inlmath]x_0>1[/inlmath]?

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 20:28
od Daniel
Izvinjavam se, htedoh napisati [inlmath]x_0>-1[/inlmath]. Ispraviću.

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 20:33
od bole
Daniel je napisao:Izvinjavam se, htedoh napisati [inlmath]x_0>-1[/inlmath]. Ispraviću.

zar ne bi trebalo biti [inlmath]x_0=1[/inlmath], a uvijek se na kraju može provjeriti rješenje preko limesa baš zbog ovakvih detalja

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 20:35
od Ilija
Samo da razjasnim...Nama ce funkcija povrsine uvek biti [inlmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}(x_0+1)^2}{2}[/inlmath], ma o kom uslovu se radilo, je l' tako?

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 20:49
od Daniel
Tako je.

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 20:55
od bole
Funkcija površine ostaje ista u svakom slučaju
p.s. da nisi imao uslova u zadatku [inlmath]x>-1[/inlmath] onda si mogao kad dođeš da je [inlmath]x_0=1[/inlmath] i izračunaš površinu tu istu provjeriti preko limesa [inlmath]\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{e^{-x_0}(x_0+1)^2}{2}[/inlmath] ili da nacrtaš grafik funkcije površine i vidiš sa njega kako se ponaša kao što je daniel uradio
pps ne sjećam se sad tačno ako ti se desi da funkcija površine ima prekid u nekoj tački da li treba provjeriti i tu tačku, možda nam daniel može to razjasniti treba li i to

preduhitri me daniel sa odgovorom, al da ne brišem sad možda ti drugi dio zatreba nekad

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 21:10
od Onomatopeja
Vidim da ste se raspisali, a i ja bih da dam komentar na jedan prethodni deo (koji mi se cini da je ostao malo nedorecen, tj. nije propracen objasnjenjem).

Daniel je napisao:Da vidimo sad za [inlmath]x_0=-2[/inlmath] (što bi bila dozvoljena vrednost ako bi važio uslov [inlmath]x\ge-2[/inlmath]):
[dispmath]P_{\triangle OAB}=\frac{e^{-x_0}\left(x_0+1\right)^2}{2}=\frac{e^2\left(-2+1\right)^2}{2}=\frac{e^2}{2}[/dispmath]
A pošto je [inlmath]\displaystyle\frac{e^2}{2}>\frac{2}{e}[/inlmath], sledi da tada [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath] neće biti maksimum zapremine. :)

Stvar je u tome da ispitivanje preko izvoda nam samo daje lokalne ekstremume unutar same oblasti (tj. bez krajnjih tacaka, interior, kako god). Dakle, u ovom slucaju (za [inlmath]x\ge-2[/inlmath]) preko izvoda se moze naci lokalni ekstremum za [inlmath]x\in(-2,\infty)[/inlmath], ali se onda mora posebno videti i sta se dogadja za krajnju tacku, tj. [inlmath]x=-2[/inlmath], i onda uporediti vrednosti u te dve tacke. Naravno, precutno vidimo da nam se [inlmath]\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^{-x}\left(x+1\right)^2}{2}=0[/inlmath] uklapa u celu pricu.



Slicna je stvar ako imamo zadatak: Naci maksimum funkcije [inlmath]f(x)=x[/inlmath] na [inlmath][1,2][/inlmath].

Resenje (pogresno): Ako potrazimo izvod vidimo [inlmath]f'(x)=1\neq0[/inlmath] za svaku tacku [inlmath]x\in[1,2][/inlmath]. Dakle, funkcija nema ekstremne vrednosti, pa samim tim ni maksimum.

Naravno, crtanjem samog grafika funkcije se ocigledno vidi da je ovo samo resenje pogresno (jer je trebalo posebno proveriti tacke [inlmath]x=1[/inlmath] i [inlmath]x=2[/inlmath] i dobili bismo da je maksimum u tacki [inlmath]x=2[/inlmath] i da je on isto [inlmath]2[/inlmath]). [da napomenem da kad radimo preko izvoda to radimo za [inlmath]x\in(1,2)[/inlmath]]. A kamoli to da nam Vajerstrasova teorema o neprekidnoj funkciji na segmentu (kompaktu) odmah daje da maksimum mora postojati.

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 21:26
od Ilija
Znaci, sustina je u tome, da ako imamo uslov [inlmath]x\ge-2[/inlmath], treba proveriti i vrednost povrsine za [inlmath]x_0=-2[/inlmath], pored (pogresnog) maksimuma u [inlmath]x_0=1[/inlmath], jer ce za to [inlmath]x_0=-2[/inlmath] povrsina biti veca, odnosno maksimalna u ovom slucaju.

Jesam li dobro ukapirao ovo?

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Utorak, 02. Februar 2016, 21:43
od bole
da
Uvijek bi trebalo provjeriti za najveću i najmanju dozvoljenu vrijednost iako to rijetko bude objašnjeno, rijetko ko i spomene taj dio, npr. ako je [inlmath]p\le x\le q[/inlmath] provjeriš za [inlmath]x_0=p[/inlmath] i [inlmath]x_0=q[/inlmath] koji mogu uzeti vrijednost [inlmath]+\infty[/inlmath] odnosno [inlmath]-\infty[/inlmath]

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Sreda, 03. Februar 2016, 09:38
od Daniel
Izvinjavam se, ovo mi bilo sinoć promaklo:
bole je napisao:
Daniel je napisao:Izvinjavam se, htedoh napisati [inlmath]x_0>-1[/inlmath]. Ispraviću.

zar ne bi trebalo biti [inlmath]x_0=1[/inlmath], a uvijek se na kraju može provjeriti rješenje preko limesa baš zbog ovakvih detalja

Za [inlmath]x_0=1[/inlmath] se dobije lokalni maksimum, ali poenta onog što sam napisao bila je da će za [inlmath]x_0>-1[/inlmath] tangenta prolaziti kroz [inlmath]I[/inlmath] kvadrant. Osim toga, [inlmath]x_0>-1[/inlmath] uključuje u sebi i mogućnost [inlmath]x_0=1[/inlmath].

bole je napisao:pps ne sjećam se sad tačno ako ti se desi da funkcija površine ima prekid u nekoj tački da li treba provjeriti i tu tačku, možda nam daniel može to razjasniti treba li i to

Teoretski (mada se to u zadacima vrlo retko dešava jer su uglavnom posmatrane funkcije neprekidne i diferencijabilne), može postojati lokalni ekstremum u tački u kojoj prvi izvod nije nula – a to je slučaj kad prvi izvod u toj tački nije definisan – to može biti posledica toga što je sama funkcija u toj tački prekidna, ili je funkcija u toj tački neprekidna ali ne i diferencijabilna (npr. tačka [inlmath]x=0[/inlmath] kod funkcije [inlmath]f\left(x\right)=\left|x\right|[/inlmath]).



Inače, zašto se za slučaj [inlmath]\displaystyle x\ge-\frac{3}{2}[/inlmath] dobije ista maksimalna površina kao i za originalan slučaj [inlmath]x>-1[/inlmath]? Zato što, kad granicu posmatranog intervala, [inlmath]\displaystyle-\frac{3}{2}[/inlmath], uvrstimo u formulu za površinu, [inlmath]\displaystyle P_{\triangle{OAB}}=\frac{e^{-x_0}(x_0+1)^2}{2}[/inlmath], dobijemo [inlmath]\displaystyle\frac{e^{\frac{3}{2}}}{8}[/inlmath], a to je manje od prethodno izračunatog lokalnog maksimuma, [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath], čime smo se uverili da je lokalni maksimum [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath] ujedno i maksimalna vrednost površine.

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Četvrtak, 04. Februar 2016, 08:48
od Daniel
Evo i animacije (koju napravih uz pomoć odličnog free-programčeta WinGCLC) koja prikazuje kako se oblik, položaj i površina posmatranog trougla (u animaciji obeleženog zeleno) menja s promenom [inlmath]x_0[/inlmath] ([inlmath]x[/inlmath]-koordinate tačke dodira krive [inlmath]e^{-x}[/inlmath] i njene tangente).

tangenta.gif
tangenta.gif (73.19 KiB) Pogledano 458 puta

Kao što rekoh, za [inlmath]x_0>-1[/inlmath] trougao se nalazi u [inlmath]I[/inlmath] kvadrantu (pri čemu za [inlmath]x_0=1[/inlmath] njegova površina dostiže lokalni maksimum), za [inlmath]x_0=-1[/inlmath] trougao se skuplja u tačku (u koordinatnom početku), a kako [inlmath]x_0[/inlmath] ide dalje od [inlmath]-1[/inlmath] ka negativnijim vrednostima, tako se trougao pojavljuje u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu, pri čemu se njegova površina sve više povećava s pomeranjem [inlmath]x_0[/inlmath] ka negativnijim vrednostima.

Za [inlmath]\displaystyle x_0=-\frac{3}{2}[/inlmath] površina trougla (koji je sad u [inlmath]III[/inlmath] kvadrantu) još uvek je manja od onog lokalnog maksimuma koji je površina imala za [inlmath]x_0=1[/inlmath]. Površina trougla će ponovo dostići tu vrednost lokalnog maksimuma koju je imala u [inlmath]x_0=1[/inlmath] (a koja je iznosila [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath]) negde za [inlmath]x_0\approx-1,557[/inlmath] (ovu vrednost nije moguće odrediti analitički već isključivo numerički, budući da predstavlja rešenje transcendentne jednačine [inlmath]\displaystyle\frac{e^{-x_0}\left(x_0+1\right)^2}{2}=\frac{2}{e}[/inlmath]).
Nakon prolaska te vrednosti [inlmath]x_0[/inlmath], površina trougla kreće rapidno da se povećava, tako da će već za [inlmath]x_0=-2[/inlmath] površina trougla biti preko pet puta veća od one njene vrednosti u lokalnom maksimumu ([inlmath]\displaystyle\frac{e^2}{2}[/inlmath] prema [inlmath]\displaystyle\frac{2}{e}[/inlmath]), i daljim odlaskom [inlmath]x_0[/inlmath] ka negativnijim vrednostima površina trougla se sve brže, i neograničeno povećava...

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Petak, 05. Februar 2016, 08:25
od Daniel
OK, ako s ovime nema više nejasnoća, možemo da se vratimo na ovaj deo: :)
Daniel je napisao:Moram da se korigujem – ne uslovi [inlmath]\displaystyle x>-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle x>-2[/inlmath], već uslovi [inlmath]\displaystyle x\ge-\frac{3}{2}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle x\ge-2[/inlmath]. Ovo je vrlo bitno, možemo posle i to da proanaliziramo zbog čega.

Dakle, zbog čega je bitno da bude znak [inlmath]\ge[/inlmath], a ne znak [inlmath]>[/inlmath]?
Kolike bi bile maksimalne površine trougla kad bismo imali znake stroge nejednakosti, tj. [inlmath]\displaystyle x>-\frac{3}{2}[/inlmath] odnosno [inlmath]\displaystyle x>-2[/inlmath]? :)

Re: Maksimalna povrsina trougla (tangenta krive y=e^-x)

PostPoslato: Ponedeljak, 08. Februar 2016, 09:07
od Daniel
Pa, prvo, ako bismo imali uslov [inlmath]\displaystyle x>-\frac{3}{2}[/inlmath], tada se ništa ne bi promenilo u odnosu na uslov [inlmath]\displaystyle x\ge-\frac{3}{2}[/inlmath].
To je zbog toga što ni za [inlmath]\displaystyle x_0>-\frac{3}{2}[/inlmath] ni za [inlmath]\displaystyle x_0=-\frac{3}{2}[/inlmath] trougao ne dostiže onu maksimalnu površinu koju je imao za [inlmath]x_0=1[/inlmath], tako da će i za jedan i za drugi uslov maksimalna površina trougla i dalje biti ona koju je imao u tački lokalnog maksimuma, za [inlmath]x_0=1[/inlmath].

Međutim, drugačija bi situacija bila kad bi važio uslov [inlmath]x>-2[/inlmath]. Kada [inlmath]x_0[/inlmath], idući ka negativnijim vrednostima, prođe tačku [inlmath]\approx-1,557[/inlmath], tada površina trougla postane veća od one površine u tački lokalnog maksimuma [inlmath]x_0=1[/inlmath], i daljim kretanjem [inlmath]x_0[/inlmath] ka negativnijim vrednostima površina trougla se i dalje povećava, tako da će za [inlmath]x_0=-2[/inlmath], kako napisah u prethodnom postu, već biti preko pet puta veća od površine u tački lokalnog maksimuma [inlmath]x_0=1[/inlmath].
I, kad imamo uslov [inlmath]x\ge-2[/inlmath], tada je stvar jasna. Tada će maksimalna vrednost površine trougla biti upravo površina koju trougao ima za [inlmath]x_0=-2[/inlmath].
Međutim, šta kad imamo uslov [inlmath]x>-2[/inlmath]? Tada [inlmath]x_0[/inlmath] sme biti u vrlo bliskoj okolini vrednosti [inlmath]-2[/inlmath], ali ne sme biti [inlmath]-2[/inlmath].
Odgovor je da, koliko god to čudno zvučalo, tada neće postojati trougao maksimalne površine. :)
O sličnim slučajevima već je bilo reči – u ovom postu i u ovoj temi.