Pozdrav. Prvo, korigovao sam ti Latex. Za pisanje formula u zasebnom redu koristiš equation-tagove, kao što si i učinio, ali za formule unutar teksta potrebno je da koristiš inlinemath-tagove. Njih sam dodao – uz korekciju Latex-koda.
Više o tome imaš na samom početku
uputstva za Latex.
Dobro si krenuo s računanjem prvog izvoda. Istina, suvišan ti je „prim“ u prvom redu, [inlmath]f{\color{red}'}\left(x\right)=e^{1/x}[/inlmath]. Treba, naravno, da stoji [inlmath]f\left(x\right)=e^{1/x}[/inlmath] jer je to funkcija od koje krećemo.
Pa je odatle [inlmath]f'\left(x\right)=\left(e^{1/x}\right)'[/inlmath].
Sasvim si ispravno njen izvod računao kao izvod složene funkcije. Znači,
[dispmath]f'\left(x\right)=\left(e^{1/x}\right)'=\left(e^{1/x}\right)'_{1/x}\cdot\left(\frac{1}{x}\right)'=e^{1/x}\cdot\left(\frac{1}{x}\right)'[/dispmath]
E sad, ovo [inlmath]\displaystyle\left(\frac{1}{x}\right)'[/inlmath] nema potrebe da računaš kao izvod količnika. Mislim, možeš, ali prva funkcija ti je u tom slučaju konstanta, tako da se to može i jednostavnije uraditi. Napišeš [inlmath]\displaystyle\frac{1}{x}[/inlmath] kao [inlmath]x^{-1}[/inlmath], a zatim primeniš tablični izvod [inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]. U tvom slučaju je [inlmath]n=-1[/inlmath], pa je to onda
[dispmath]\left(\frac{1}{x}\right)'=\left(x^{-1}\right)'=\left(-1\right)x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}[/dispmath]
i onda je prvi izvod zadate funkcije jednak
[dispmath]f'\left(x\right)=e^{1/x}\cdot\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{e^{1/x}}{x^2}[/dispmath]
E, kad si našao prvi izvod, sada drugi izvod date funkcije tražiš kao izvod njenog prvog izvoda. Dakle,
[dispmath]f''\left(x\right)=\left(-\frac{e^{1/x}}{x^2}\right)'[/dispmath]
pri čemu, naravno, minus može da izađe ispred izvoda, zbog osobine [inlmath]\bigl(cf\left(x\right)\bigr)'=cf'\left(x\right)[/inlmath],
[dispmath]f''\left(x\right)=-\left(\frac{e^{1/x}}{x^2}\right)'[/dispmath]
A pošto vidimo da [inlmath]\displaystyle\left(\frac{e^{1/x}}{x^2}\right)'[/inlmath] predstavlja količnik dve funkcije po [inlmath]x[/inlmath], sada primenjujemo onu formulu za izvod količnika, [inlmath]\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/inlmath], gde je [inlmath]u=e^{1/x}[/inlmath] i [inlmath]v=x^2[/inlmath].
Bi li umeo da nastaviš?
Sve osobine izvoda možeš videti u
ovoj temi.
I, da, ne dobije se [inlmath]\displaystyle f''\left(x\right)=\displaystyle e^{1/x}\cdot\frac{2}{x^4}[/inlmath], već [inlmath]\displaystyle f''\left(x\right)=\displaystyle e^{1/x}\cdot\frac{2x+1}{x^4}[/inlmath]