Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Ispunjenje uslova za Lopitalova pravila

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]

Ispunjenje uslova za Lopitalova pravila

Postod Gogele » Subota, 18. Februar 2017, 10:42

Ako su date funkcije [inlmath]f(x)=x-\sin x[/inlmath] i [inlmath]g(x)=x+\sin x[/inlmath], da li se za funkciju [inlmath]\frac{f(x)}{g(x)}[/inlmath] može primeniti neko Lopitalovo pravilo, pri čemu je [inlmath]x\in(a,+\infty)[/inlmath]? Meni se čini da ne može, jer iako je [inlmath]\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty[/inlmath], ni [inlmath]g'(x)[/inlmath] ni [inlmath]g''(x)[/inlmath] nisu različiti od nule za svako [inlmath]x\in(a,+\infty)[/inlmath]. U rešenju zadatka je primenjeno neko Lopitalovo pravilo (samo da bi se ilustrovalo da se ne može na taj način izračunati [inlmath]\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}[/inlmath]).

Koliko sam shvatio glavni uslov za primenu Lopitalovih pravila je da je prvi izvod funkcije koja je imenilac, uvek različit od nule. Ostali zavise od toga kakve su date funkcije.
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Ispunjenje uslova za Lopitalova pravila

Postod miletrans » Subota, 18. Februar 2017, 16:16

Kod Lopitalovog pravila suština ti je da u polaznom limesu moraš da imaš identitet ili [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{\infty}{\infty}[/inlmath]. Dakle, nije bitno da li ćeš u rezultatu dobiti nulu ili neki drugi broj u imeniocu. Ako prilikom primene Lopitalovog pravila opet dobiješ identitet [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{\infty}{\infty}[/inlmath], možeš ponovo da primeniš isto pravilo, i tako koliko god ti puta treba. Pogledaj, ima po forumu zadataka gde je Lopitalovo pravilo primenjeno više puta. Dve veoma česte greške su da se ne proveri da li u polaznom limesu imaš tražene identitete i da se traži izvod količnika umesto količnik izvoda.

U konkretnom slučaju, Lopitalovo pravilo može da se primeni, mada ne vidim svrhu. Podeliš i brojilac i imenilac sa [inlmath]x[/inlmath] i odmah vidiš rešenje.
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

Re: Ispunjenje uslova za Lopitalova pravila

Postod Gogele » Subota, 18. Februar 2017, 18:32

miletrans je napisao:U konkretnom slučaju, Lopitalovo pravilo može da se primeni, mada ne vidim svrhu. Podeliš i brojilac i imenilac sa [inlmath]x[/inlmath] i odmah vidiš rešenje.

Koji god izvod funkcije [inlmath]g(x)[/inlmath] da koristim, uvek će biti neko [inlmath]x[/inlmath] za koje je taj izvod jednak nuli pa se zbog toga ne može primeniti Lopitalovo pravilo, koliko sam ja shvatio. To je jedan zajednički uslov za sva Lopitalova pravila (četiri :)) na koja sam naišao u knjizi iz koje učim, tako da mi se čini da je ovo pogrešan primer za primenu ovih pravila.

Gogele je napisao:U rešenju zadatka je primenjeno neko Lopitalovo pravilo (samo da bi se ilustrovalo da se ne može na taj način izračunati [inlmath]\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}[/inlmath]).
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

  • +1

Re: Ispunjenje uslova za Lopitalova pravila

Postod miletrans » Subota, 18. Februar 2017, 19:40

[dispmath]\lim_{x\to\infty}\frac{x-\sin x}{x+\sin x}=\lim_{x\to\infty}\frac{(x-\sin x)'}{(x+\sin x)'}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cos x}{1+\cos x}[/dispmath] Kao što vidiš, ovim nisi dobio nešto što bi moglo da se reši na neki zgodan način. Vidi, kada radiš Lopitala, uopšte te ne zanima kakav ćeš izvod da dobiješ. Bitno je da izrazi i u brojiocu i u imeniocu teže [inlmath]\infty[/inlmath] (u ovom slučaju) ili [inlmath]0[/inlmath]. Inače, kao što rekoh, ovaj limes može da se reši vrlo lako ako i brojilac i imenilac podeliš sa [inlmath]x[/inlmath].
Globalni moderator
 
Postovi: 601
Zahvalio se: 54 puta
Pohvaljen: 692 puta

Re: Ispunjenje uslova za Lopitalova pravila

Postod Daniel » Nedelja, 19. Februar 2017, 01:47

Upravo tako, jer da bi se L'Hôpital smeo primeniti, potrebno je i da postoji limes [inlmath]\lim\limits_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}[/inlmath]. U ovom slučaju dobija se da pomenuti limes ne postoji, jer vrednost kosinusa u beskonačnosti nije određena, već kosinus u beskonačnosti „lebdi“ između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 32 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 14:00 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs