Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Broj rešenja jednačine sinx = ax + b

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]

Broj rešenja jednačine sinx = ax + b

Postod Gogele » Ponedeljak, 17. April 2017, 11:08

Imam problem sa sledećim zadatkom:
Odrediti broj rešenja jednačine [inlmath]\sin x = ax + b[/inlmath] u zavisnosti od parametara [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].

Pretpostavljam da su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] realni brojevi, iako nije eksplicitno navedeno iz kog su skupa.

Ovo je moje rešenje, koje nije celo:

Posmatrajmo slučajeve kada je [inlmath]a = 0[/inlmath] i [inlmath]a \ne 0[/inlmath].

1) [inlmath]a = 0[/inlmath]
Dobijamo da jednačina ima oblik [inlmath]\sin x = b[/inlmath]. Odatle sledi:
Ako je [inlmath]b \in \mathbb{R} \setminus [-1, 1][/inlmath], onda nema rešenja.
Ako je [inlmath]b = -1[/inlmath], onda jednačina iima beskonačno mnogo rešenja, oblika [inlmath]x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi[/inlmath], [inlmath]k \in \mathbb{Z}[/inlmath].
Ako je [inlmath]b \in (-1, 0) \cup (0, 1)[/inlmath], onda jednačina ima beskonačno mnogo rešenja, oblika [inlmath]x = \arcsin b + 2k\pi[/inlmath] ([inlmath]k \in \mathbb{Z}[/inlmath]) ili [inlmath]x =\pi - \arcsin b + 2k\pi[/inlmath] ([inlmath]k \in \mathbb{Z}[/inlmath]) (pošto dva ugla imaju isti sinus).
Ako je [inlmath]b = 0[/inlmath], onda jednačina ima beskonačno mnogo rešenja, oblika [inlmath]x = k\pi[/inlmath], [inlmath]k \in \mathbb{Z}[/inlmath].
Ako je [inlmath]b = 1[/inlmath], onda jednačina ima beskonačno mnogo rešenja, oblika [inlmath]x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi[/inlmath], [inlmath]k \in \mathbb{Z}[/inlmath].

2) [inlmath]a \ne 0[/inlmath]
U ovom slučaju, posmatrajmo funkciju [inlmath]F(x) = ax + b - \sin x[/inlmath]. Imamo da je [inlmath]F \in C(\mathbb{R})[/inlmath] i [inlmath]F \in D(\mathbb{R})[/inlmath] (C i D treba da budu velika pisana slova), pa sledi da je [inlmath]F[/inlmath] neprekidna na proizvoljnom segmentu [inlmath][\alpha, \beta][/inlmath] i diferencijablina na odgovarajućem intervalu [inlmath](\alpha, \beta)[/inlmath]. Dakle, [inlmath]F[/inlmath] ispunjava uslova Lagranžove teoreme o srednjoj vrednosti diferencijalnog računa, pa postoji [inlmath]\gamma \in (\alpha, \beta)[/inlmath], takvo da je:
[dispmath]\frac{F(\beta) + F(\alpha)}{\beta - \alpha} = F'(\gamma)[/dispmath].
Mislio sam da ću dobiti da je [inlmath]\gamma[/inlmath] rešenje, ali sam dobio izraz, [inlmath]\sin \alpha - \sin \beta = (\alpha - \beta)\cos \gamma[/inlmath], odakle ne mogu ništa da zaključim.

Kako da rešim drugi slučaj?
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Broj rešenja jednačine sinx = ax + b

Postod Gogele » Ponedeljak, 17. April 2017, 11:34

Mislim da ću drugi slučaj moći rešiti ako ispitam monotost funkcije [inlmath]F[/inlmath].
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta

Re: Broj rešenja jednačine sinx = ax + b

Postod Gogele » Ponedeljak, 17. April 2017, 13:59

Za drugi slučaj sam našao sledeće rešenje (posmatramo funkciju [inlmath]F[/inlmath] iz prvog posta):

Imamo da je za [inlmath]a < 0[/inlmath], [inlmath]\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = +\infty[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = -\infty[/inlmath].
Imamo da je za [inlmath]a > 0[/inlmath], [inlmath]\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = -\infty[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = +\infty[/inlmath].
Važi da je [inlmath]F'(x) = a - \cos x[/inlmath], pa je [inlmath]F'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = a \, (*)[/inlmath].

Kada je [inlmath]a \in \mathbb{R} \setminus [-1, 1][/inlmath], onda [inlmath](*)[/inlmath] nema rešenje, pa [inlmath]F[/inlmath] nema lokalne ekstremume u ovom slučaju.
Za [inlmath]a \in (-\infty, -1)[/inlmath] je [inlmath]F' < 0[/inlmath], pa je [inlmath]F[/inlmath] strogo opadajuća. Kako je [inlmath]a < 0[/inlmath] i [inlmath]F[/inlmath] je strogo opadajuća, sledi da postoji realan broj za koji je [inlmath]F(x) = 0[/inlmath]. Odavde sledi da u ovom slučaju, data jednačina ima jedno rešenje.
Za [inlmath]a \in (1, +\infty)[/inlmath] je [inlmath]F' > 0[/inlmath], pa je [inlmath]F[/inlmath] strogo rastuća. Kako je [inlmath]a > 0[/inlmath] i [inlmath]F[/inlmath] je strogo rastuća, sledi da postoji realan broj za koji je [inlmath]F(x) = 0[/inlmath]. Odavde sledi da u ovom slučaju, data jednačina ima jedno rešenje.

Kada je [inlmath]a = -1[/inlmath], dobijamo da je [inlmath]F'(x) = 0[/inlmath], za [inlmath]x = \pi + 2k\pi[/inlmath], [inlmath]k \in \mathbb{Z}[/inlmath]. Za [inlmath]a = -1[/inlmath] je [inlmath]F' \le 0[/inlmath], pa je [inlmath]F[/inlmath] monotono opadajuća funkcija. Sledi da [inlmath]F[/inlmath] nema lokalne ekstremume. Kako je [inlmath]a < 0[/inlmath] i [inlmath]F[/inlmath] je monotono opadajuća, sledi da postoji realan broj za koji je [inlmath]F(x) = 0[/inlmath]. Odavde sledi da u ovom slučaju, data jednačina ima jedno rešenje.

Kada je [inlmath]a = 1[/inlmath], dobijamo da je [inlmath]F'(x) = 0[/inlmath], za [inlmath]x = 2k\pi[/inlmath], [inlmath]k \in \mathbb{Z}[/inlmath]. Za [inlmath]a = 1[/inlmath] je [inlmath]F' \ge 0[/inlmath], pa je [inlmath]F[/inlmath] monotono rastuća funkcija. Sledi da [inlmath]F[/inlmath] nema lokalne ekstremume. Kako je [inlmath]a > 0[/inlmath] i [inlmath]F[/inlmath] je monotono rastuća, sledi da postoji realan broj za koji je [inlmath]F(x) = 0[/inlmath]. Odavde sledi da u ovom slučaju, data jednačina ima jedno rešenje.

Da li je ovo rešenje tačno?
Gogele  OFFLINE
 
Postovi: 117
Zahvalio se: 35 puta
Pohvaljen: 26 puta


Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 07. Decembar 2019, 00:50 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs