Imam problem sa sledećim zadatkom:
Odrediti broj rešenja jednačine [inlmath]\sin x = ax + b[/inlmath] u zavisnosti od parametara [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].
Pretpostavljam da su [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] realni brojevi, iako nije eksplicitno navedeno iz kog su skupa.
Ovo je moje rešenje, koje nije celo:
Posmatrajmo slučajeve kada je [inlmath]a = 0[/inlmath] i [inlmath]a \ne 0[/inlmath].
1) [inlmath]a = 0[/inlmath]
Dobijamo da jednačina ima oblik [inlmath]\sin x = b[/inlmath]. Odatle sledi:
Ako je [inlmath]b \in \mathbb{R} \setminus [-1, 1][/inlmath], onda nema rešenja.
Ako je [inlmath]b = -1[/inlmath], onda jednačina iima beskonačno mnogo rešenja, oblika [inlmath]x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi[/inlmath], [inlmath]k \in \mathbb{Z}[/inlmath].
Ako je [inlmath]b \in (-1, 0) \cup (0, 1)[/inlmath], onda jednačina ima beskonačno mnogo rešenja, oblika [inlmath]x = \arcsin b + 2k\pi[/inlmath] ([inlmath]k \in \mathbb{Z}[/inlmath]) ili [inlmath]x =\pi - \arcsin b + 2k\pi[/inlmath] ([inlmath]k \in \mathbb{Z}[/inlmath]) (pošto dva ugla imaju isti sinus).
Ako je [inlmath]b = 0[/inlmath], onda jednačina ima beskonačno mnogo rešenja, oblika [inlmath]x = k\pi[/inlmath], [inlmath]k \in \mathbb{Z}[/inlmath].
Ako je [inlmath]b = 1[/inlmath], onda jednačina ima beskonačno mnogo rešenja, oblika [inlmath]x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi[/inlmath], [inlmath]k \in \mathbb{Z}[/inlmath].
2) [inlmath]a \ne 0[/inlmath]
U ovom slučaju, posmatrajmo funkciju [inlmath]F(x) = ax + b - \sin x[/inlmath]. Imamo da je [inlmath]F \in C(\mathbb{R})[/inlmath] i [inlmath]F \in D(\mathbb{R})[/inlmath] (C i D treba da budu velika pisana slova), pa sledi da je [inlmath]F[/inlmath] neprekidna na proizvoljnom segmentu [inlmath][\alpha, \beta][/inlmath] i diferencijablina na odgovarajućem intervalu [inlmath](\alpha, \beta)[/inlmath]. Dakle, [inlmath]F[/inlmath] ispunjava uslova Lagranžove teoreme o srednjoj vrednosti diferencijalnog računa, pa postoji [inlmath]\gamma \in (\alpha, \beta)[/inlmath], takvo da je:
[dispmath]\frac{F(\beta) + F(\alpha)}{\beta - \alpha} = F'(\gamma)[/dispmath].
Mislio sam da ću dobiti da je [inlmath]\gamma[/inlmath] rešenje, ali sam dobio izraz, [inlmath]\sin \alpha - \sin \beta = (\alpha - \beta)\cos \gamma[/inlmath], odakle ne mogu ništa da zaključim.
Kako da rešim drugi slučaj?