Uvjetni ekstremi

PostPoslato: Petak, 05. Maj 2017, 11:57
od enaa
Moze pomoc? :)
Pomocu uvjetnog ekstrema odredite maksimalnu povrsinu pravokutnika upisanog u kruznicu radijusa [inlmath]r[/inlmath].
izgubim se kod trazenja uvjeta :crazy: :think1:

Re: Uvjetni ekstremi

PostPoslato: Petak, 05. Maj 2017, 12:57
od Daniel
Centar kružnice možeš postaviti u koordinatni početak i tada će i upisani pravougaonik biti podeljen na četiri jednaka dela, od kojih se svaki nalazi u jednom od četiri kvadranta. Zbog te simetričnosti možeš posmatrati situaciju u samo jednom (recimo, u prvom) kvadrantu, jer kada četvrtina pravougaonika koja se nalazi u prvom kvadrantu ima maksimalnu površinu, tada će i ceo pravougaonik imati maksimalnu površinu.
Ako koordinate gornjeg desnog temena pravougaonika (tj. onog temena koje se nalazi u prvom kvadrantu) označiš sa [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], tada će površina te četvrtine pravougaonika iznositi [inlmath]z=xy[/inlmath]. To je funkcija čiji maksimum tražiš. Pri tome, zbog jednačine kružnice koja glasi [inlmath]x^2+y^2=r^2[/inlmath], uslov dobiješ tako što odatle izraziš [inlmath]y[/inlmath], tj. [inlmath]y=\sqrt{r^2-x^2}[/inlmath] (ispred korena uzimamo [inlmath]+[/inlmath] jer posmatramo prvi kvadrant).

Re: Uvjetni ekstremi

PostPoslato: Petak, 05. Maj 2017, 13:16
od enaa
i taj uvjet samo stavin u lagrangovu funkciju i rjesin? i jel to vridi i za kvadrat i sve simetricne?

Re: Uvjetni ekstremi

PostPoslato: Petak, 05. Maj 2017, 15:08
od Corba248
Treba uvrstiti [inlmath]y=\sqrt{r^2-x^2}[/inlmath] u [inlmath]z=xy[/inlmath], da bude jasnije, neka je [inlmath]f(x)=xy[/inlmath] odnosno, nakon uvrštavanja:
[dispmath]f(x)=x\cdot\sqrt{r^2-x^2}[/dispmath] Funkcija će dostići maksimum onda kada prvi izvod bude bio jednak nuli. Trebalo bi da dobiješ da je tvoj pravougaonik sa najvećom površinom zapravo kvadrat.

Moglo se rešiti i na drugi način, bez korišćenja izvoda. Znamo da se dijagonale pravougaonika upisanog u krug seku u centru tog kruga (odnosno predstavljaju njegove prečnike). Možemo iskoristiti formulu za izračunavanje površine četvorougla (konveksnog) preko njegovih dijagonala i ugla koji te dijagonale zaklapaju. Pošto se radi o pravougaoniku dijagonale su jednakih dužina:
[dispmath]P=d^2\cdot\sin\alpha[/dispmath] Kako je [inlmath]d[/inlmath] konstantno jasno je da će površina biti maksimalna onda kada [inlmath]\sin\alpha[/inlmath] dostigne svoj maksimum, odnosno kada je [inlmath]\sin\alpha=1[/inlmath], a tada je [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{2}[/inlmath] tj. dijagonale se seku pod pravim uglom.

enaa je napisao:i jel to vridi i za kvadrat i sve simetricne?

Na sličan način možeš rešiti i za ostale, kako kažeš, "simetrične", ali uvek je bolje da se zaista posvetiš zadatku nego da ga rešiš šablonski.

Re: Uvjetni ekstremi

PostPoslato: Petak, 05. Maj 2017, 15:48
od enaa
[dispmath]L(x,y,\Lambda)=xy+\Lambda\left(x\sqrt{r^2-x^2}\right)[/dispmath] sad trazim parcijalnu derivaciju od [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath], i [inlmath]\Lambda[/inlmath], te nakon toga se uvrsti u formulu?

Re: Uvjetni ekstremi

PostPoslato: Petak, 05. Maj 2017, 16:45
od Corba248
Moja greška. :facepalm:
Moram priznati da slabo vladam hrvatskim. Nisam znao šta znači uvjetni, pretpostavio sam da znači lokalni ili nešto slično jer mi se čini da se zadatak rešava i bez uvjetnih ekstrema. O njima slabo znam, tako da radije ne bih govorio o onome u šta se ne razumem. Nažalost, moraćemo da pričekamo nekog ko se razume. :)

Re: Uvjetni ekstremi

PostPoslato: Petak, 05. Maj 2017, 17:31
od enaa
jel bar uvijet ostaje isti onda?

Re: Uvjetni ekstremi

PostPoslato: Petak, 05. Maj 2017, 21:15
od Daniel
enaa je napisao:[dispmath]L(x,y,\Lambda)=xy+\Lambda\left(x\sqrt{r^2-x^2}\right)[/dispmath]

Ne, izraz kojim se množi [inlmath]\Lambda[/inlmath] treba da bude jednak nuli. Pošto smo izveli uslov za prvi kvadrant da je [inlmath]y=\sqrt{r^2-x^2}[/inlmath], izraz koji će posledično biti jednak nuli glasio bi [inlmath]\sqrt{r^2-x^2}-y[/inlmath], pa bi Lagranžova funkcija bila
[dispmath]L(x,y,\Lambda)=xy+\Lambda\left(\sqrt{r^2-x^2}-y\right)[/dispmath] A možeš raditi i tako što ćeš uzeti [inlmath]x^2+y^2-r^2=0[/inlmath] (što sledi iz jednačine kružnice [inlmath]x^2+y^2=r^2[/inlmath]), nakon čega ćeš za Lagranžovu funkciju dobiti
[dispmath]L(x,y,\Lambda)=xy+\Lambda\left(x^2+y^2-r^2\right)[/dispmath] Isti se rezultat dobije na oba načina, tj. da je upisani pravougaonik maksimalne površine, zapravo, kvadrat – kao što je Corba248 i rekao.

Preporučujem da pogledaš ovu i ovu temu, u njima smo takođe imali Lagranžove funkcije.

Re: Uvjetni ekstremi

PostPoslato: Subota, 06. Maj 2017, 11:54
od enaa
Hvala :P

Re: Uvjetni ekstremi

PostPoslato: Nedelja, 07. Maj 2017, 21:05
od enaa
A da je zadatak glasio da odredimo maximalnu povrsinu ili opseg kvadrata upisanog u kruznicu radijusa [inlmath]r[/inlmath], da li bi uvijet bia isti kao i za pravokutnik? ako ga podijelimo na cetiri dijela i gledamo samo 1. kvadrant?
rekli ste da je pravokutnik sa max. povrsinom zapravo kvadrat, pa pitan radi toga

Re: Uvjetni ekstremi

PostPoslato: Nedelja, 07. Maj 2017, 21:41
od Corba248
U krug radijusa [inlmath]r[/inlmath] može se upisati samo jedan kvadrat.

Re: Uvjetni ekstremi

PostPoslato: Nedelja, 07. Maj 2017, 21:43
od enaa
kako bi onda glasio uvijet?

Re: Uvjetni ekstremi

PostPoslato: Nedelja, 07. Maj 2017, 22:02
od Daniel
Ne bi glasio.