Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Tangencijalna ravnina paralelna zadanoj ravnini

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]

Tangencijalna ravnina paralelna zadanoj ravnini

Postod enaa » Ponedeljak, 08. Maj 2017, 21:51

* MOD EDIT * Zadatak izdvojen iz ove teme

Napisite jednadzbu tangencijalne ravnine na graf funkcije
[dispmath]f(x,y)=\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{18}[/dispmath] koja je paralelna ravnini [inlmath]2y−3z=0[/inlmath].
Meni je rezultat ispao, [inlmath]2y-3z=0[/inlmath] a treba ispasti [inlmath]2y−3z−6=0[/inlmath], izgubila san se u polovici zadatka pa ne razumin kako su dobili ovu šesticu ovdje.
I dali trebam naci [inlmath]z[/inlmath] ili ne? :crazy:
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 09. Maj 2017, 07:40, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje inlinemath-tagova
enaa  OFFLINE
 
Postovi: 46
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Tangencijalna ravnina paralelna zadanoj ravnini

Postod Daniel » Utorak, 09. Maj 2017, 07:46

Budući da ipak nisi nova članica, bilo bi već vreme da u potpunosti iščitaš sve tačke forumskog Pravilnika, i da ih se pridržavaš.
  • Latex se koristi ne samo za matematičke izraze izdvojene u zasebnim redovima, nego za sve matematičke oznake, pa i one unutar samog teksta (u tom slučaju se koriste inlinemath-tagovi – dodao sam ih u tvoj post).
  • Nov zadatak uvek ide u zasebnu temu. OK, prethodni zadatak je isto bio u vezi s tangencijalnom ravninom, ali ovaj zadatak nije baš toliko sličan prethodnom da bi s njim bio u istoj temi.
  • Potvrđujem rešenje [inlmath]2y−3z−6=0[/inlmath] za ovaj zadatak. Da bismo mogli da ti pomognemo, moraš napisati svoj postupak (tu polovinu do koje si došla), kako bismo ti ukazali na eventualnu grešku i proverili jesi li na dobrom putu.
Počev od tvog narednog posta, očekivaće se da si upoznata sa svim tačkama Pravilnika.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7772
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4140 puta

Re: Tangencijalna ravnina paralelna zadanoj ravnini

Postod enaa » Utorak, 09. Maj 2017, 13:12

Ispricavam se, procitala sam sve, nece se ponovit.
evo ovako:
iz funkcije sam dobila:
[dispmath]\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x}{8}\\
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y}{18}[/dispmath] i dobijem normalnu iz ravnine.
nakon toga:
[dispmath]T\left(\frac{2x}{8},\frac{2y}{18},0\right)=\lambda(0,2,-3)[/dispmath] pa dobijem da je
[dispmath]x=0,\\
y=18\lambda,\\
z=0[/dispmath] i nakon toga uvrstim u funkciju, i dobijem da je
[dispmath]\lambda=0[/dispmath] iz cega mi slijedi da je i
[dispmath]y=0[/dispmath] i onda,
[dispmath]0(x-0)+2(y-0)-3(z-0)=0[/dispmath] i rezultat mi je
[dispmath]2y-3z=0,[/dispmath] a znan da je krivo jer ocito sam nesto zaboravila dodat.
enaa  OFFLINE
 
Postovi: 46
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Tangencijalna ravnina paralelna zadanoj ravnini

Postod Daniel » Utorak, 09. Maj 2017, 13:39

E tako, sad je već mnogo bolje. :thumbup: Sad imamo od čega da krenemo.

Greška ti je ovde:
enaa je napisao:[dispmath]T\left(\frac{2x}{8},\frac{2y}{18},{\color{red}0}\right)=\lambda(0,2,-3)[/dispmath]

Naime, [inlmath]z[/inlmath]-komponenta vektora normale nije nula. Pošto ti je data jednačina ravni, [inlmath]z=\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{18}[/inlmath], kada [inlmath]z[/inlmath] pređe na desnu stranu imaćemo
[dispmath]\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{18}-z=0[/dispmath] pa će parcijalni izvod leve strane po [inlmath]z[/inlmath] biti [inlmath]-1[/inlmath], a odatle će vektor normale na datu funkciju biti [inlmath]\left\langle\frac{2x}{8},\frac{2y}{18},-1\right\rangle[/inlmath].

Uzgred, ne razumem baš ovu oznaku [inlmath]T[/inlmath] i oblu zagradu – tako se obeležavaju tačke sa svojim koordinatama, a ti ovde ne obeležavaš tačku, već vektor normale i njegove komponente.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7772
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4140 puta

Re: Tangencijalna ravnina paralelna zadanoj ravnini

Postod enaa » Utorak, 09. Maj 2017, 15:49

samo san stavila da su mi [inlmath]x,y,z[/inlmath] tocke, da mi bude lakse izracunati
kada to rjesim
[dispmath]x=0,\\
y=18\lambda,\\
\lambda=\frac{1}{3}[/dispmath] i nakon toga slijedi da je
[dispmath]y=6[/dispmath] i jeli onda slijedi
[dispmath]0(x-0)+2(y-6)-3(z-0)=0,[/dispmath] kad san izracula opet ne ispada isto :roll:
enaa  OFFLINE
 
Postovi: 46
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Tangencijalna ravnina paralelna zadanoj ravnini

Postod enaa » Utorak, 09. Maj 2017, 15:53

Mislin da sam shvatila, [inlmath]z[/inlmath] cu na kraju dobiti tako da uvrsim [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] u funkciju i [inlmath]z[/inlmath] koji dobijem uvrstit doli u formulu i izracunam, sad mi ispada dobro.
Poslednji put menjao Daniel dana Utorak, 09. Maj 2017, 23:44, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje inlinemath-tagova – tačka 13. Pravilnika!
enaa  OFFLINE
 
Postovi: 46
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Tangencijalna ravnina paralelna zadanoj ravnini

Postod Daniel » Utorak, 09. Maj 2017, 23:52

Tako je, znači, neće biti [inlmath]0(x-0)+2(y-6)-3(z-{\color{red}0})=0[/inlmath], već će biti [inlmath]0(x-0)+2(y-6)-3(z-{\color{green}2})=0[/inlmath]. I kad se to sredi dobije se ispravno rešenje.

Još jedna opomena zbog nekorišćenja Latex-tagova za oznake – znači, ne piše se „z cu na kraju dobiti...“, već se piše „[inlmath]z[/inlmath] cu na kraju dobiti...“

Pokazaću (najverovatnije sutra) još jedan način rešavanja zadatka, na jedan „manje školski“ način...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7772
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4140 puta

Re: Tangencijalna ravnina paralelna zadanoj ravnini

Postod enaa » Sreda, 10. Maj 2017, 07:56

hvalaa, dobro mi sada ispadne rjesenje :ghh:
enaa  OFFLINE
 
Postovi: 46
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Tangencijalna ravnina paralelna zadanoj ravnini

Postod Daniel » Sreda, 10. Maj 2017, 09:27

A evo i tog drugog načina (kô što rekoh, nije po šablonu, al' je meni zanimljiviji). Jednačina ravni koja je paralelna datoj ravni [inlmath]2y−3z=0[/inlmath] biće oblika [inlmath]2y−3z+c=0[/inlmath], gde je [inlmath]c[/inlmath] promenljiv parametar. Rešenje sistema koji čine data funkcija i ravan paralelna datoj ravni, [inlmath]z=\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{18}[/inlmath] i [inlmath]2y−3z+c=0[/inlmath], predstavljaće njihov presek. Pošto je potrebno da data ravan bude tangencijalna ravan na graf te funkcije, sledi da ovaj sistem mora imati tačno jedno rešenje po [inlmath]x[/inlmath], po [inlmath]y[/inlmath] i po [inlmath]z[/inlmath].

Ako jednačinu ravni napišemo kao [inlmath]z=\frac{2}{3}y+\frac{c}{3}[/inlmath] i zatim izjednačimo desne strane ove dve jednačine, dobićemo
[dispmath]\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{18}=\frac{2}{3}y+\frac{c}{3}[/dispmath] Zatim, uz malo transformacije,
[dispmath]\frac{x^2}{8}+\frac{y^2-12y}{18}=\frac{c}{3}\\
\frac{x^2}{8}+\frac{y^2-12y+36}{18}=\frac{c}{3}+2\\
\frac{x^2}{8}+\frac{(y-6)^2}{18}=\frac{c}{3}+2[/dispmath] prepoznajemo u ovome jednačinu elipse, što znači da će, kada je [inlmath]\frac{c}{3}+2[/inlmath] pozitivno, projekcija preseka na [inlmath]xOy[/inlmath]-ravan biti elipsa (projekcija na [inlmath]xOy[/inlmath]-ravan jer smo izjednačavanjem desnih strana jednačina eliminisali koordinatu [inlmath]z[/inlmath]), dok kada je [inlmath]\frac{c}{3}+2[/inlmath] negativno, presek će biti prazan skup (tj. graf funkcije i ravan neće imati zajedničkih tačaka), a kada je [inlmath]\frac{c}{3}+2[/inlmath] jednako nuli, projekcija preseka će biti tačka (upravo onaj slučaj koji nas interesuje. Odatle sledi da mora biti [inlmath]c=-6[/inlmath], a jednačina tražene ravni će glasiti [inlmath]2y−3z-6=0[/inlmath].

Nakon toga se vrlo lako mogu odrediti i koordinate dodirne tačke. Jednačina se tada svodi na [inlmath]\frac{x^2}{8}+\frac{(y-6)^2}{18}=0[/inlmath], pa je jasno da odatle moraju oba sabirka biti jednaka nuli, tj. [inlmath]x=0[/inlmath] i [inlmath]y=6[/inlmath]. Iz jednačine [inlmath]z=\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{18}[/inlmath] ili iz jednačine [inlmath]2y−3z-6=0[/inlmath] lako se dobije i da je [inlmath]z=2[/inlmath]. Prema tome, dodirna tačka je [inlmath](0,6,2)[/inlmath]. Ovime je potvrđena jedinstvenost rešenja i za [inlmath]z[/inlmath], a samim tim i jedinstvenost zajedničke tačke grafa funkcije i ravni.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7772
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4087 puta
Pohvaljen: 4140 puta


Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 07. Decembar 2019, 00:08 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs