Visina valjka zapremine V koji ima minimalnu površinu

PostPoslato: Utorak, 20. Jun 2017, 12:00
od roshoo
Ovo je 18. zadatak sa probnog prijemnog sa FONa 2017. Glasi kao naslov.

[inlmath]r[/inlmath] sam izrazio preko [inlmath]V[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath], ubacio u formulu za [inlmath]P[/inlmath] i dobio
[dispmath]P=\frac{V+2\pi H\sqrt{V\pi H}}{H}[/dispmath] Da li je to tačno, ako jeste, kako da dodjem do minimuma? Da li uopšte mora preko izvoda?

Tačno rešenje je [inlmath]\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}[/inlmath]

Re: Visina valjka zapremine V koji ima minimalnu površinu

PostPoslato: Utorak, 20. Jun 2017, 12:25
od Corba248
roshoo je napisao:i dobio
[dispmath]P=\frac{V+2\pi H\sqrt{V\pi H}}{H}[/dispmath]

Ovo nije dobro. Ne znam kako si došao do ovoga, pa ti ne mogu ukazati na grešku. Vodi računa da ti je površina valjka:
[dispmath]P={\color{red}2}r^2\pi H+2r\pi H[/dispmath] Mislim da si u svom postupku zaboravio crveno obeleženu dvojku. Takođe, u izrazu za površinu [inlmath]\pi[/inlmath] ispred korena je višak. Mislim da je lakše da ne svodiš na zajednički imenilac. Svakako se radi preko izvoda.

P.S. Gde može da se nađe taj probni prijemni?

Re: Visina valjka zapremine V koji ima minimalnu površinu

PostPoslato: Utorak, 20. Jun 2017, 12:27
od Nađa
Da stvarno, na sajtu vise nemaju okacen probni? Samo su privremeno okacili zadatke ili?

Re: Visina valjka zapremine V koji ima minimalnu površinu

PostPoslato: Utorak, 20. Jun 2017, 12:59
od roshoo
Sacuvao sam link, skinuli su sa sajta... http://upis.fon.bg.ac.rs/vesti/2017/fon ... 1_2017.pdf

Re: Visina valjka zapremine V koji ima minimalnu površinu

PostPoslato: Utorak, 20. Jun 2017, 13:10
od bobanex
@Corba248
On je zaboravio [inlmath]2[/inlmath] ali si ti dodao [inlmath]H[/inlmath] :)

Re: Visina valjka zapremine V koji ima minimalnu površinu

PostPoslato: Utorak, 20. Jun 2017, 13:16
od roshoo
Corba248 je napisao:Vodi računa da ti je površina valjka:
[dispmath]P={\color{red}2}r^2\pi H+2r\pi H[/dispmath] Mislim da si u svom postupku zaboravio crveno obeleženu dvojku.

Jesam... :facepalm:
A mislim da si ti dodao jedno [inlmath]H[/inlmath], [inlmath]B=r^2\pi{\color{red}H}[/inlmath]

Corba248 je napisao:Takođe, u izrazu za površinu [inlmath]\pi[/inlmath] ispred korena je višak.

To je [inlmath]\pi[/inlmath] od [inlmath]M=2r\pi H[/inlmath], ne vidim gresku.

Probao sam ponovo i dobio
[dispmath]P=\frac{2V}{H}+2\pi\sqrt{\frac{VH}{\pi}}[/dispmath] Pogubim se mnogo lako u ovakvim zadacima :insane:

Re: Visina valjka zapremine V koji ima minimalnu površinu

PostPoslato: Utorak, 20. Jun 2017, 13:20
od bobanex
To je tačan izraz, mada je mogao još malo da se uprosti. Pređi na prvi izvod.

Re: Visina valjka zapremine V koji ima minimalnu površinu

PostPoslato: Utorak, 20. Jun 2017, 13:21
od Corba248
U pravu ste za [inlmath]H[/inlmath].
Možeš ovo da središ:
[dispmath]2\pi\sqrt{\frac{VH}{\pi}}=2\sqrt{VH\pi}[/dispmath] Kada nađeš izvod izjednači ga sa nulom i onda odatle izrazi [inlmath]H[/inlmath].

Re: Visina valjka zapremine V koji ima minimalnu površinu

PostPoslato: Utorak, 20. Jun 2017, 13:47
od roshoo
Uspeo sam! Izvod je
[dispmath]\frac{x^2\sqrt{\pi V}-2V\sqrt{x}}{2\sqrt{x^5}}[/dispmath] Što je jednako nuli kada je [inlmath]x^2\sqrt{\pi V}-2V\sqrt{x}=0[/inlmath] odakle se dobija tacno resenje.

Hvala puno :)

Re: Visina valjka zapremine V koji ima minimalnu površinu

PostPoslato: Utorak, 20. Jun 2017, 15:26
od Daniel
roshoo je napisao:Uspeo sam! Izvod je
[dispmath]\frac{x^2\sqrt{\pi V}-2V\sqrt{x}}{2\sqrt{x^5}}[/dispmath]

Mislim da si nepotrebno zakomplikovao... Ako izraz za površinu napišeš u obliku
[dispmath]P=\frac{2V}{H}+2\sqrt{\pi VH}[/dispmath] izvod vrlo lako izračunaš:
[dispmath]P'=-\frac{2V}{H^2}+\cancel2\sqrt{\pi V}\cdot\frac{1}{\cancel2\sqrt H}=0[/dispmath] Odatle se lako dobije da je
[dispmath]H^{\frac{3}{2}}=2\sqrt{\frac{V}{\pi}}\quad\Longrightarrow\quad\enclose{box}{H=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}}[/dispmath]
roshoo je napisao:Sacuvao sam link, skinuli su sa sajta... http://upis.fon.bg.ac.rs/vesti/2017/fon ... 1_2017.pdf

Najlepše zahvaljujem. :thumbup:
Postavljeno.