Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Naci izvod funkcije

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]

Naci izvod funkcije

Postod wolf11 » Utorak, 19. Septembar 2017, 16:01

Trebam da nadjem izvod funkcije [inlmath]\left(\cos x\right )^{\sin x}[/inlmath].
Ja sam mozda malo naivno krenuo racunajuci to kao obicnu slozenu funkciju, ja za izvod dobijem
[dispmath]\left(\left(\cos x\right)^{\sin x}\right)'=\sin x\cdot\left(\cos x\right)^{\sin x-1}\cdot\left(-\sin x\right)=-\left(\sin x\right)^2\cdot\left(\cos x\right)^{\sin x-1}[/dispmath] Medjutim, na netu kad sam htio da provjerim rjesenje vidio sam da su oni koristili neku formulu [inlmath]\left(u\left(x\right)^{v\left(x\right)}\right)'=u\left(x\right)^{v\left(x\right)}\cdot\Bigl[\ln\bigl(u\left(x\right)\bigr)\cdot v\left(x\right)\Bigr]'[/inlmath]. Ja za ovu formulu nisam znao, a nismo je ni radili pa me zanima da li postoji neko drugo rjesenje da se dodje do izvoda ove funkcije?
wolf11  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 3 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Naci izvod funkcije

Postod bobanex » Utorak, 19. Septembar 2017, 16:55

[dispmath]f=f\left(x\right)\\
u=u\left(x\right)\\
v=v\left(x\right)\\
f=u^v\\
\ln\left(f\right)=\ln\left(u^v\right)\\
\ln\left(f\right)=v\ln\left(u\right)\\
\bigl(\ln\left(f\right)\bigr)^\prime=\bigl(v\ln\left(u\right)\bigr)^\prime\\
\frac{1}{f}f'=\bigl(v\ln\left(u\right)\bigr)^\prime\\
f'=f\cdot\bigl(v\ln\left(u\right)\bigr)^\prime[/dispmath] Ja mogu samo da dam ideju kako doći do formule.
bobanex  OFFLINE
 
Postovi: 488
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 496 puta

  • +1

Re: Naci izvod funkcije

Postod Igor » Utorak, 19. Septembar 2017, 17:40

Ako te formula zbunjuje, ja bih to uradio ovako (bez petljanja sa formulama :D ):
[dispmath]y=(\cos x)^{\sin x}[/dispmath] Logaritmovaćemo levu i desnu stranu, logaritmom proizvoljne osnove (u ovom slučaju odgovara nam osnova [inlmath]\cos x[/inlmath]):
[dispmath]\log_{\cos x}y=\log_{\cos x}(\cos x)^{\sin x}[/dispmath][dispmath]\log_{\cos x}y=\sin x[/dispmath] Sada nađemo prvi izvod i leve i desne strane:
[dispmath]\frac{1}{y\cdot\ln(\cos x)}\cdot y'=\cos x[/dispmath][dispmath]y'=y\cdot\ln(\cos x)\cdot\cos x[/dispmath] Ovde možemo zameniti [inlmath]y=(\cos x)^{\sin x}[/inlmath], pa imamo:
[dispmath]y'=\cos x\cdot(\cos x)^{\sin x}\cdot\ln(\cos x)[/dispmath][dispmath]\Large\enclose{box}{y'=(\cos x)^{(\sin x+1)}\cdot\ln(\cos x)}[/dispmath] Naravno, uz uslove [inlmath]\cos x>0[/inlmath] i [inlmath]\cos x\ne1[/inlmath], zbog definisanosti logaritma.
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 88
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 73 puta

Re: Naci izvod funkcije

Postod wolf11 » Utorak, 19. Septembar 2017, 17:50

Hvala na pomoci. Nije uopste problem zapamtiti ovu ideju, a pomaze dosta.
wolf11  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 3 puta

Re: Naci izvod funkcije

Postod wolf11 » Utorak, 19. Septembar 2017, 18:44

Igor je napisao:[dispmath]\Large\enclose{box}{y'=(\cos x)^{(\sin x+1)}\cdot\ln(\cos x)}[/dispmath] Naravno, uz uslove [inlmath]\cos x>0[/inlmath] i [inlmath]\cos x\ne1[/inlmath], zbog definisanosti logaritma.

Ipak nisam siguran da je ovo rjesenje tacno, jer radeci po uputstvima koje mi je dao bobanex ja dobijam za rjesenje
[dispmath]\left(\cos x\right)^{\sin x}\left(\cos x\ln\left(\cos x\right)-\frac{\left(\sin x\right)^2}{\cos x}\right)[/dispmath] A nisam siguran gdje si napravio gresku
wolf11  OFFLINE
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 31 puta
Pohvaljen: 3 puta

  • +1

Re: Naci izvod funkcije

Postod Daniel » Utorak, 19. Septembar 2017, 23:53

wolf11 je napisao:Ipak nisam siguran da je ovo rjesenje tacno,

Greška je ovde:
Igor je napisao:[dispmath]\log_{\cos x}y=\sin x[/dispmath] Sada nađemo prvi izvod i leve i desne strane:
[dispmath]\frac{1}{y\cdot\ln(\cos x)}\cdot y'=\cos x[/dispmath]

Naime, izvod ovog logaritma ne možemo tražiti na ovaj način, jer i u numerusu i u osnovi imamo funkciju od [inlmath]x[/inlmath]. Izvod logaritma bismo mogli naći tako što bismo taj logaritam zapisali preko količnika, [inlmath]\frac{\ln y}{\ln\cos x}[/inlmath], pa zatim njegov izvod tražili kao izvod količnika, ali mislim da nas to ne bi odvelo do cilja.

Možeš raditi na način koji je predložio bobanex (da, dobio si ispravno rešenje), ali meni lično se čini jednostavnije da upotrebiš osobinu logaritma [inlmath]a=e^{\ln a}[/inlmath], čime funkciju transformišeš na oblik [inlmath]\cos x^{\sin x}=e^{\ln\cos x^{\sin x}}=e^{\sin x\ln\cos x}[/inlmath], a dalje njen izvod tražiš kao izvod složene funkcije (naravno, formula [inlmath]a=e^{\ln a}[/inlmath] važi za [inlmath]a>0[/inlmath], ali funkcija [inlmath]\cos x^{\sin x}[/inlmath] svakako i nije definisana za negativno [inlmath]\cos x[/inlmath]).
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7760
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4080 puta
Pohvaljen: 4133 puta

Re: Naci izvod funkcije

Postod desideri » Četvrtak, 21. Septembar 2017, 14:18

Jako sličan je i izvod funkcije [inlmath]x^x[/inlmath] što je već objašnjavano na forumu.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1519
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1088 puta
Pohvaljen: 837 puta

  • +2

Re: Naci izvod funkcije

Postod Igor » Nedelja, 24. Septembar 2017, 11:17

Dopunio bih ovu temu, zbog budućih posetilaca foruma, iako je već razjašnjeno šta se i kako radi. Napisaću postupke za traženje izvoda na način koji je predložio Daniel (i meni se on čini najjednostavnijim):

    1.[inlmath]\quad y=(\cos x)^{\sin x}[/inlmath]
[inlmath]y=\cos x^{\sin x}=e^{\ln\cos x^{\sin x}}=e^{\sin x\ln\cos x}[/inlmath]
[inlmath]y'=\left(e^{\sin x\ln(\cos x)}\right)'=e^{\sin x\ln(\cos x)}\cdot\left(\cos x\ln(\cos x)+\frac{\sin x}{\cos x}\cdot(-\sin x)\right)[/inlmath][dispmath]y'=(\cos x)^{\sin x}\cdot\left(\cos x\ln(\cos x)-\frac{\sin^2x}{\cos x}\right)[/dispmath]

    2.[inlmath]\quad y=(\sin x)^{\cos x}[/inlmath]
Slično: [inlmath]y=\sin x^{\cos x}=e^{\ln\sin x^{\cos x}}=e^{\cos x\ln\sin x}[/inlmath]
[inlmath]y'=\left(e^{\cos x\ln(\sin x)}\right)'=e^{\cos x\ln(\sin x)}\cdot\left(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos x}{\sin x}\cdot\cos x\right)[/inlmath][dispmath]y'=(\sin x)^{\cos x}\cdot\left(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2x}{\sin x}\right)[/dispmath]

    3.[inlmath]\quad y=x^x[/inlmath]
[inlmath]y=x^x=e^{\ln x^x}=e^{x\ln x}[/inlmath]
[inlmath]y'=\left(e^{x\ln x}\right)'=e^{x\ln x}\cdot(x\ln x)'=x^x\cdot\left(\ln x+x\cdot\frac{1}{x}\right)[/inlmath][dispmath]y'=x^x\cdot(\ln x+1)[/dispmath]
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 88
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 28 puta
Pohvaljen: 73 puta


Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Sreda, 20. Novembar 2019, 04:38 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs