Naci izvod funkcije

PostPoslato: Utorak, 19. Septembar 2017, 16:01
od wolf11
Trebam da nadjem izvod funkcije [inlmath]\left(\cos x\right )^{\sin x}[/inlmath].
Ja sam mozda malo naivno krenuo racunajuci to kao obicnu slozenu funkciju, ja za izvod dobijem
[dispmath]\left(\left(\cos x\right)^{\sin x}\right)'=\sin x\cdot\left(\cos x\right)^{\sin x-1}\cdot\left(-\sin x\right)=-\left(\sin x\right)^2\cdot\left(\cos x\right)^{\sin x-1}[/dispmath] Medjutim, na netu kad sam htio da provjerim rjesenje vidio sam da su oni koristili neku formulu [inlmath]\left(u\left(x\right)^{v\left(x\right)}\right)'=u\left(x\right)^{v\left(x\right)}\cdot\Bigl[\ln\bigl(u\left(x\right)\bigr)\cdot v\left(x\right)\Bigr]'[/inlmath]. Ja za ovu formulu nisam znao, a nismo je ni radili pa me zanima da li postoji neko drugo rjesenje da se dodje do izvoda ove funkcije?

Re: Naci izvod funkcije

PostPoslato: Utorak, 19. Septembar 2017, 16:55
od bobanex
[dispmath]f=f\left(x\right)\\
u=u\left(x\right)\\
v=v\left(x\right)\\
f=u^v\\
\ln\left(f\right)=\ln\left(u^v\right)\\
\ln\left(f\right)=v\ln\left(u\right)\\
\bigl(\ln\left(f\right)\bigr)^\prime=\bigl(v\ln\left(u\right)\bigr)^\prime\\
\frac{1}{f}f'=\bigl(v\ln\left(u\right)\bigr)^\prime\\
f'=f\cdot\bigl(v\ln\left(u\right)\bigr)^\prime[/dispmath] Ja mogu samo da dam ideju kako doći do formule.

Re: Naci izvod funkcije

PostPoslato: Utorak, 19. Septembar 2017, 17:40
od Igor
Ako te formula zbunjuje, ja bih to uradio ovako (bez petljanja sa formulama :D ):
[dispmath]y=(\cos x)^{\sin x}[/dispmath] Logaritmovaćemo levu i desnu stranu, logaritmom proizvoljne osnove (u ovom slučaju odgovara nam osnova [inlmath]\cos x[/inlmath]):
[dispmath]\log_{\cos x}y=\log_{\cos x}(\cos x)^{\sin x}[/dispmath][dispmath]\log_{\cos x}y=\sin x[/dispmath] Sada nađemo prvi izvod i leve i desne strane:
[dispmath]\frac{1}{y\cdot\ln(\cos x)}\cdot y'=\cos x[/dispmath][dispmath]y'=y\cdot\ln(\cos x)\cdot\cos x[/dispmath] Ovde možemo zameniti [inlmath]y=(\cos x)^{\sin x}[/inlmath], pa imamo:
[dispmath]y'=\cos x\cdot(\cos x)^{\sin x}\cdot\ln(\cos x)[/dispmath][dispmath]\Large\enclose{box}{y'=(\cos x)^{(\sin x+1)}\cdot\ln(\cos x)}[/dispmath] Naravno, uz uslove [inlmath]\cos x>0[/inlmath] i [inlmath]\cos x\ne1[/inlmath], zbog definisanosti logaritma.

Re: Naci izvod funkcije

PostPoslato: Utorak, 19. Septembar 2017, 17:50
od wolf11
Hvala na pomoci. Nije uopste problem zapamtiti ovu ideju, a pomaze dosta.

Re: Naci izvod funkcije

PostPoslato: Utorak, 19. Septembar 2017, 18:44
od wolf11
Igor je napisao:[dispmath]\Large\enclose{box}{y'=(\cos x)^{(\sin x+1)}\cdot\ln(\cos x)}[/dispmath] Naravno, uz uslove [inlmath]\cos x>0[/inlmath] i [inlmath]\cos x\ne1[/inlmath], zbog definisanosti logaritma.

Ipak nisam siguran da je ovo rjesenje tacno, jer radeci po uputstvima koje mi je dao bobanex ja dobijam za rjesenje
[dispmath]\left(\cos x\right)^{\sin x}\left(\cos x\ln\left(\cos x\right)-\frac{\left(\sin x\right)^2}{\cos x}\right)[/dispmath] A nisam siguran gdje si napravio gresku

Re: Naci izvod funkcije

PostPoslato: Utorak, 19. Septembar 2017, 23:53
od Daniel
wolf11 je napisao:Ipak nisam siguran da je ovo rjesenje tacno,

Greška je ovde:
Igor je napisao:[dispmath]\log_{\cos x}y=\sin x[/dispmath] Sada nađemo prvi izvod i leve i desne strane:
[dispmath]\frac{1}{y\cdot\ln(\cos x)}\cdot y'=\cos x[/dispmath]

Naime, izvod ovog logaritma ne možemo tražiti na ovaj način, jer i u numerusu i u osnovi imamo funkciju od [inlmath]x[/inlmath]. Izvod logaritma bismo mogli naći tako što bismo taj logaritam zapisali preko količnika, [inlmath]\frac{\ln y}{\ln\cos x}[/inlmath], pa zatim njegov izvod tražili kao izvod količnika, ali mislim da nas to ne bi odvelo do cilja.

Možeš raditi na način koji je predložio bobanex (da, dobio si ispravno rešenje), ali meni lično se čini jednostavnije da upotrebiš osobinu logaritma [inlmath]a=e^{\ln a}[/inlmath], čime funkciju transformišeš na oblik [inlmath]\cos x^{\sin x}=e^{\ln\cos x^{\sin x}}=e^{\sin x\ln\cos x}[/inlmath], a dalje njen izvod tražiš kao izvod složene funkcije (naravno, formula [inlmath]a=e^{\ln a}[/inlmath] važi za [inlmath]a>0[/inlmath], ali funkcija [inlmath]\cos x^{\sin x}[/inlmath] svakako i nije definisana za negativno [inlmath]\cos x[/inlmath]).

Re: Naci izvod funkcije

PostPoslato: Četvrtak, 21. Septembar 2017, 14:18
od desideri
Jako sličan je i izvod funkcije [inlmath]x^x[/inlmath] što je već objašnjavano na forumu.

Re: Naci izvod funkcije

PostPoslato: Nedelja, 24. Septembar 2017, 11:17
od Igor
Dopunio bih ovu temu, zbog budućih posetilaca foruma, iako je već razjašnjeno šta se i kako radi. Napisaću postupke za traženje izvoda na način koji je predložio Daniel (i meni se on čini najjednostavnijim):

    1.[inlmath]\quad y=(\cos x)^{\sin x}[/inlmath]
[inlmath]y=\cos x^{\sin x}=e^{\ln\cos x^{\sin x}}=e^{\sin x\ln\cos x}[/inlmath]
[inlmath]y'=\left(e^{\sin x\ln(\cos x)}\right)'=e^{\sin x\ln(\cos x)}\cdot\left(\cos x\ln(\cos x)+\frac{\sin x}{\cos x}\cdot(-\sin x)\right)[/inlmath][dispmath]y'=(\cos x)^{\sin x}\cdot\left(\cos x\ln(\cos x)-\frac{\sin^2x}{\cos x}\right)[/dispmath]

    2.[inlmath]\quad y=(\sin x)^{\cos x}[/inlmath]
Slično: [inlmath]y=\sin x^{\cos x}=e^{\ln\sin x^{\cos x}}=e^{\cos x\ln\sin x}[/inlmath]
[inlmath]y'=\left(e^{\cos x\ln(\sin x)}\right)'=e^{\cos x\ln(\sin x)}\cdot\left(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos x}{\sin x}\cdot\cos x\right)[/inlmath][dispmath]y'=(\sin x)^{\cos x}\cdot\left(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2x}{\sin x}\right)[/dispmath]

    3.[inlmath]\quad y=x^x[/inlmath]
[inlmath]y=x^x=e^{\ln x^x}=e^{x\ln x}[/inlmath]
[inlmath]y'=\left(e^{x\ln x}\right)'=e^{x\ln x}\cdot(x\ln x)'=x^x\cdot\left(\ln x+x\cdot\frac{1}{x}\right)[/inlmath][dispmath]y'=x^x\cdot(\ln x+1)[/dispmath]