Izvod funkcije

PostPoslato: Ponedeljak, 11. Jun 2018, 18:16
od bithahfag
Dobar dan svima,
imam problema sa sledecim zadatkom:
zad. Funkcija [inlmath]f\colon\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+[/inlmath] zadata je sa [inlmath]f(x)=\left(x^x\right)^x[/inlmath], za svako [inlmath]x>0[/inlmath]. Dokazati da postoji [inlmath]a>0[/inlmath] takvo da je [inlmath]f'(a)=30^{5^{2017}}[/inlmath] ([inlmath]f'[/inlmath]-izvod funkcije [inlmath]f[/inlmath])
Moja ideja bila je da prvo pronadjemo izvod funkcije [inlmath]f[/inlmath], a zatim da to izjednacimo sa [inlmath]f30^{5^{2017}}[/inlmath]. Medjutim nisam uspela da dovrsim do kraja. Puno bi mi znacilo ako bi neko mogao da pogleda. Hvala unapred!
P.S. Nadam se da je sve postavljeno pravilno zato sto sam ovde prvi put :D

Re: Izvod funkcije

PostPoslato: Ponedeljak, 11. Jun 2018, 22:31
od Corba248
Jesi li uspela da nađeš izvod?
Ako jesi onda je potrebno dokazati da je funkcija [inlmath]f'[/inlmath] definisana i neprekidna za [inlmath]x>0[/inlmath]. Onda na osnovu teoreme o međuvrednostima funkcije sledi ono što se traži u zadatku. Ovde je pravi problem naći izvod. Ako nisi uspela onda probaj da [inlmath]\ln[/inlmath]-uješ [inlmath]f(x)[/inlmath].

Re: Izvod funkcije

PostPoslato: Utorak, 12. Jun 2018, 07:22
od bithahfag
Mislim da sam uspela - doduse nisam sigurna da je dobro:
[dispmath]\bigl(\left(x^x\right)^x\bigr)'=\left(\left(e^{\ln x}\right)^x\right)'=\left(e^{\ln x\cdot x}\right)'=e^{\ln x\cdot x}(\ln x\cdot x)'=e^{\ln x\cdot x}\left(\frac{1}{x}\cdot x+\ln x\cdot1\right)=e^{\ln x\cdot x}(1+\ln x)[/dispmath] Nadam se da je ovo ispravno...
Inace mnogo ti hvala! :D

Re: Izvod funkcije

PostPoslato: Utorak, 12. Jun 2018, 08:12
od miletrans
matpet je napisao:[dispmath]\bigl(\left(x^x\right)^x\bigr)'=\left(\left(e^{\ln x}\right)^x\right)'[/dispmath]

Ovde si izgubila jedno [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]\left(x^x\right)^x=x^{x\cdot x}=x^{x^2}[/dispmath] Pa sad primeniš sličan postupak za traženje izvoda.

Re: Izvod funkcije

PostPoslato: Utorak, 12. Jun 2018, 10:04
od bithahfag
Bas sam se pitala zasto se ne dobija dobro. Hvala mnogo!