Izvod funkcije – probni prijemni ETF 2017.

PostPoslato: Utorak, 12. Jun 2018, 13:40
od kazinski
Probni prijemni ispit ETF - 10. jun 2017.
9. zadatak


Data je funkcija [inlmath]f(x)=\sqrt{\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}}[/inlmath]. Tada je vrednost [inlmath]f'(4)[/inlmath] jednaka? -Rešenje: [inlmath]\enclose{box}{-\frac{\sqrt3}{12}}[/inlmath]

Možemo racionalisati unutar korena:
[dispmath]f(x)=\sqrt{\frac{\left(\sqrt x+1\right)^2}{x-1}}=\left(\sqrt x+1\right)(x-1)^{-\frac{1}{2}}[/dispmath] Sada primenimo pravilo:
[dispmath](a\cdot b)'=a'b+ab'\\
f'(x)=\left(\sqrt x+1\right)'(x-1)^{-\frac{1}{2}}+\left(\sqrt x+1\right)\left((x-1)^{-\frac{1}{2}}\right)'\\
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x\sqrt{(x-1)}}-\frac{\sqrt x+1}{2\sqrt{(x-1)^3}}\;\Longrightarrow\;f'(4)=-\frac{\sqrt3}{12}[/dispmath]

Re: Izvod funkcije – probni prijemni ETF 2017.

PostPoslato: Utorak, 12. Jun 2018, 23:18
od Daniel
Sasvim ispravan postupak, a može se raditi i bez racionalizacije potkorene veličine, preko izvoda složene funkcije:
[dispmath]\begin{align}
f'(x)&=\left(\sqrt{\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}}\right)'\\
&=\frac{1}{2\sqrt{\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}}}\cdot\left(\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}\right)'\\
&=\frac{1}{2\sqrt{\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}}}\cdot\frac{\left(\sqrt x+1\right)'\left(\sqrt x-1\right)-\left(\sqrt x+1\right)\left(\sqrt x-1\right)'}{\left(\sqrt x-1\right)^2}\\
&=\frac{1}{2\sqrt{\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-1}}}\cdot\frac{\frac{1}{2\sqrt x}\left(\sqrt x-1\right)-\frac{1}{2\sqrt x}\left(\sqrt x+1\right)}{\left(\sqrt x-1\right)^2}
\end{align}[/dispmath] Sad se, naravno, to može srediti, a koga mrzi da sređuje može odmah u ovaj izraz i uvrstiti [inlmath]\sqrt x=2[/inlmath]...