Trougao minimalne povrsine – jednacina prave

PostPoslato: Utorak, 17. Mart 2020, 15:15
od Milica8
U zadatku je potrebno odrediti jednacinu prave koja prolazi kroz tacku [inlmath](-4,2)[/inlmath] i sa osama gradi trougao minimalne povrsine. Ja sam povrsinu izrazila preko [inlmath]n[/inlmath] iz jednacine prave i dobila da je [inlmath]P=\frac{2n^2}{2-n}[/inlmath]. Dalje, kada nadjem prvi izvod dobijam dva resenja [inlmath]n=0[/inlmath] ili [inlmath]n=4[/inlmath]. I onda dobijem da je [inlmath]n=0[/inlmath] minimum za koji bi povrsina bila jednaka nuli i zbog toga imam nedoumice. Ako zaista jeste tako onda bi jednacina prave bila [inlmath]y=-\frac{1}{2}x[/inlmath]. Nadam se da ce neko ovo provjeriti i ukazati mi na gresku. :D

Re: Trougao minimalne povrsine – jednacina prave

PostPoslato: Sreda, 18. Mart 2020, 12:12
od Igor
Sve je tačno do dela kada kažeš da je minimalna površina za [inlmath]n=0[/inlmath]. Tu treba uzeti drugo rešenje za [inlmath]n[/inlmath] koje si dobila ([inlmath]n=4[/inlmath]), jer se za [inlmath]n=0[/inlmath] dobija da je površina, kao što i sama kažeš, jednaka [inlmath]0[/inlmath], pa trougao praktično ne postoji, a to nam nije cilj. Za [inlmath]n=4[/inlmath], dobija se jednačina prave:
[dispmath]y=\frac{1}{2}x+4.[/dispmath] Ova prava u preseku sa [inlmath]x[/inlmath]-osom daje tačku [inlmath](-8,0)[/inlmath], a u preseku sa [inlmath]y[/inlmath]-osom tačku [inlmath](0,4)[/inlmath]. Površina tako dobijenog pravouglog trougla je [inlmath]16[/inlmath] i to je minimalna površina.

Re: Trougao minimalne povrsine – jednacina prave

PostPoslato: Sreda, 18. Mart 2020, 13:47
od Milica8
Jasno. Samo ako npr [inlmath]n=4[/inlmath] ubacim u povrsinu koju sam izrazila preko [inlmath]n[/inlmath] dobijam da je to [inlmath]-16[/inlmath], sto naravno ne moze biti, ali zasto je pogresno vratiti se u tu jednacinu?

Re: Trougao minimalne povrsine – jednacina prave

PostPoslato: Sreda, 18. Mart 2020, 17:05
od Daniel
Igor je napisao:Površina tako dobijenog pravouglog trougla je [inlmath]16[/inlmath] i to je minimalna površina.

A ako bi jednačina prave bila npr. [inlmath]y=-\frac{2}{5}x+\frac{2}{5}[/inlmath]? :) Onda bi površina posmatranog trougla bila [inlmath]\frac{1}{5}[/inlmath], pa ne bismo mogli reći da je [inlmath]16[/inlmath] minimalna površina.

Ja bih se u potpunosti složio s razmišljanjem Milice8. Naravno da trougao s površinom [inlmath]P=0[/inlmath] nije trougao, ali se onda postavlja pitanje kolika bi bila minimalna površina trougla. Prema ovako postavljenom tekstu zadatka, trougao s minimalnom površinom ne postoji (potpuno analogno kao što ne postoji ni najmanji pozitivan realan broj), jer za svaki ovakav trougao, koliko god mu površina bila mala, možemo naći trougao još manje površine.
Kada bi u zadatku bio postavljen neki dodatni uslov, npr. [inlmath]k>0[/inlmath] (gde je [inlmath]k[/inlmath] koeficijent pravca tražene prave), e onda bismo imali trougao najmanje površine i to rešenje bi odgovaralo Igorovom.

Milica8 je napisao:Jasno. Samo ako npr [inlmath]n=4[/inlmath] ubacim u povrsinu koju sam izrazila preko [inlmath]n[/inlmath] dobijam da je to [inlmath]-16[/inlmath], sto naravno ne moze biti, ali zasto je pogresno vratiti se u tu jednacinu?

Zato što „horizontalna“ kateta trougla nije jednaka [inlmath]x[/inlmath]-koordinati preseka prave i [inlmath]x[/inlmath]-ose, već je jednaka apsolutnoj vrednosti te [inlmath]x[/inlmath]-koordinate (tj. jednaka je udaljenosti tog preseka od koordinatnog početka, a udaljenost ne može biti negativna).

Re: Trougao minimalne povrsine – jednacina prave

PostPoslato: Sreda, 18. Mart 2020, 20:49
od Milica8
Jasno, nista cudno verovatno nedostaje upravo taj deo koji si rekao u postavci. Hvala vam na pojasnjenju ;)