Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Maksimalan odnos zapremina upisane i opisane lopte

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]

Maksimalan odnos zapremina upisane i opisane lopte

Postod Zedxdxd » Ponedeljak, 15. Jun 2020, 13:53

Maksimalan odnos zapremina upisane i opisane lopte u i oko prave kružne kupe iznosi:
[inlmath]\displaystyle A)\;\frac{1}{2\sqrt2},\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle B)\;\frac{1}{8},\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle C)\;\frac{1}{27},\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle D)\;\frac{1}{64},\quad[/inlmath] [inlmath]\displaystyle E)\;\frac{1}{3\sqrt3}.[/inlmath]
Rešenje je [inlmath]B)[/inlmath]. Ovaj zadatak sam počeo da rešavam tako što sam zaključio da bi odnos zapremina upisane i opisane lopte [inlmath]\frac{V_u}{V_o}[/inlmath] mora [inlmath]\left(\frac{r_u}{r_o}\right)^3[/inlmath] ([inlmath]r_u[/inlmath] i [inlmath]r_o[/inlmath] su poluprečnici upisane i opisane lopte) da bude maksimalno. I odatle sam zaključio da [inlmath]r_u[/inlmath] mora da bude maksimalno, a [inlmath]r_o[/inlmath] minimalno. Onda sam probao da napisem [inlmath]r_u[/inlmath] po [inlmath]H[/inlmath] ([inlmath]H[/inlmath] je visina kupe, [inlmath]r[/inlmath] poluprečnik kupe) tako da je [inlmath]H[/inlmath] nepoznata, a [inlmath]r[/inlmath] konstanta, a to me je odvelo da je [inlmath]H[/inlmath] negativno. Kada sam tako probao da uradim sa [inlmath]r_o[/inlmath] dobio sam [inlmath]r_o=r[/inlmath], što mi je nekako nelogično. :unsure:
Da li neko uopšte ima ideju za ovakav zadatak?
Nadam se da sam lepo iskoristio Latex, i hvala svima unapred!! :D
Zedxdxd  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Maksimalan odnos zapremina upisane i opisane lopte

Postod primus » Utorak, 16. Jun 2020, 10:33

Poprečni presek prave kupe je u opštem slučaju jednakokraki trougao sa osnovicom [inlmath]2r_k[/inlmath] i krakom [inlmath]s_k[/inlmath], gde je [inlmath]r_k[/inlmath] poluprečnik osnove kupe a [inlmath]s_k[/inlmath] izvodnica kupe. Neka je [inlmath]2r_k=a[/inlmath], [inlmath]s_k=b[/inlmath], [inlmath]P[/inlmath] - površina poprečnog preseka i [inlmath]s[/inlmath] - poluobim poprečnog preseka, tada možemo zapisati sledeće formule:
[dispmath]r_o=\frac{ab^2}{4P}[/dispmath][dispmath]r_u=\frac{2P}{a+2b}[/dispmath][dispmath]P=\sqrt{s(s-a)(s-b)^2}[/dispmath][dispmath]s=\frac{a+2b}{2}[/dispmath] Kombinacijom ovih jednakosti dobija se da je:
[dispmath]\frac{r_u}{r_o}=\frac{(2b-a)\cdot a}{2b^2}=-\frac{1}{2}\left(\frac{a}{b}\right)^2+\frac{a}{b}[/dispmath] Ako uvedemo smenu [inlmath]t=\frac{a}{b}[/inlmath] imamo da je:
[dispmath]\frac{r_u}{r_o}=-\frac{1}{2}t^2+t[/dispmath] Da bi odredili maksimalnu vrednost [inlmath]\left(\frac{r_u}{r_o}\right)_\text{max}[/inlmath] potrebno je naći prvi izvod [inlmath]\left(\frac{r_u}{r_o}\right)_t'[/inlmath] i izjednačiti ga sa nulom. Rešavanjem jednačine [inlmath]\left(\frac{r_u}{r_o}\right)_t'=0[/inlmath] dobija se [inlmath]t=1[/inlmath], odnosno kad vratimo smenu [inlmath]\frac{a}{b}=1[/inlmath]. Dakle imamo da je [inlmath]a=b[/inlmath], odakle sledi da je [inlmath]\left(\frac{r_u}{r_o}\right)_\text{max}=\frac{1}{2}[/inlmath], pa se konačno dobija [inlmath]\left(\frac{V_u}{V_o}\right)_\text{max}=\left(\left(\frac{r_u}{r_o}\right)_\text{max}\right)^3=\frac{1}{8}[/inlmath].
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Maksimalan odnos zapremina upisane i opisane lopte

Postod Zedxdxd » Utorak, 16. Jun 2020, 13:06

Hvala puno!! Uopšte se ne bih setio da izrazim poluprečnike lopti preko površine poprečnog preseka kupe. :D
Zedxdxd  OFFLINE
 
Postovi: 3
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 1 puta


Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 27 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 16:36 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs