blake je napisao:Nađite jedn. normale i tangente na parabolu [inlmath]y=2x^2+4x[/inlmath] u točkama u kojima parabola siječe os [inlmath]x[/inlmath].
Ubavic je u pravu, dobio je ispravna rešenja. Ovaj postupak što si prepisao s ploče nisam uspeo da shvatim, ali evo načina na koji bih ja rezonovao.
Prvo odredimo koje su to tačke preseka s [inlmath]x[/inlmath]-osom:
[dispmath]y=2x^2+4x=0\quad\Rightarrow\quad 2x\left(x+2\right)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\;\lor\;x=-2[/dispmath]
Znači, tačke preseka s [inlmath]x[/inlmath]-osom su [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath].
Koeficijent pravca tangente u nekoj tački funkcije jednak je prvom izvodu u toj tački funkcije, a prvi izvod ove funkcije je:
[dispmath]y'=\left(2x^2+4x\right)'=4x+4=4\left(x+1\right)[/dispmath]
U tački [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath]:
Tangenta:
[dispmath]t_1:\quad y=kx+n,\quad k=y'\left(0\right)=4\left(0+1\right)=4\\
t_1:\quad y=4x+n[/dispmath]
Slobodni parametar [inlmath]n[/inlmath] određujemo iz uslova da tangenta prolazi kroz tačku [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]0=4\cdot 0+n\quad\Rightarrow\quad n=0[/dispmath]
pa je jednačina tangente u tački [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]t_1:\quad y=4x[/dispmath]
Koeficijent pravca normale jednak je negativnoj recipročnoj vrednosti koeficijenta pravca tangente, pošto su normala i tangenta međusobno upravne:
[dispmath]n_1:\quad y=kx+n,\quad k=-\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{1}{4}x+n[/dispmath]
Pošto i normala prolazi kroz tačku [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath], na osnovu toga nađemo [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]0=-\frac{1}{4}\cdot 0+n\quad\Rightarrow\quad n=0[/dispmath]
pa je jednačina normale u tački [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]n_1:\quad y=-\frac{1}{4}x[/dispmath]
U tački [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath]:
Tangenta:
[dispmath]t_2:\quad y=kx+n,\quad k=y'\left(-2\right)=4\left(-2+1\right)=-4\\
t_2:\quad y=-4x+n[/dispmath]
Slobodni parametar [inlmath]n[/inlmath] određujemo iz uslova da tangenta prolazi kroz tačku [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]0=-4\cdot\left(-2\right)+n\quad\Rightarrow\quad n=-8[/dispmath]
pa je jednačina tangente u tački [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]t_2:\quad y=-4x-8[/dispmath]
Koeficijent pravca normale jednak je negativnoj recipročnoj vrednosti koeficijenta pravca tangente, pošto su normala i tangenta međusobno upravne:
[dispmath]n_2:\quad y=kx+n,\quad k=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{4}x+n[/dispmath]
Pošto i normala prolazi kroz tačku [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath], na osnovu toga nađemo [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]0=\frac{1}{4}\cdot\left(-2\right)+n\quad\Rightarrow\quad n=\frac{1}{2}[/dispmath]
pa je jednačina normale u tački [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]n_2:\quad y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}[/dispmath]