Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA IZVODI FUNKCIJA

Tangente i normale

[inlmath]\left(x^n\right)'=nx^{n-1}[/inlmath]

Tangente i normale

Postod blake » Petak, 22. Novembar 2013, 21:03

Nađite jedn. normale i tangente na parabolu [inlmath]y=2x^2+4x[/inlmath] u točkama u kojima parabola siječe os [inlmath]x[/inlmath].
[dispmath]t_1\ldots y-0=4(x-0)\;\Rightarrow\;y=4x[/dispmath][dispmath]n_1\ldots y-0=\frac{-1}{4}(x-0)\;\Rightarrow\;y=-\frac{1}{4}x[/dispmath]
[dispmath]t_2\ldots y+2=-4(x+2)\;\Rightarrow\;y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}[/dispmath]
Ovo je prvo krivo uvršteno ([inlmath]x_0[/inlmath]), a onda i krivo izračunato ?
blake  OFFLINE
 
Postovi: 371
Lokacija: Split, Croatia
Zahvalio se: 127 puta
Pohvaljen: 96 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Tangente i normale

Postod ubavic » Petak, 22. Novembar 2013, 23:02

blake je napisao:[inlmath]t_2\ldots y+2=-4(x+2)\;\Rightarrow\;y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}[/inlmath]

Kako dobiješ ovo? Tangenta u tački [inlmath](-2,0)[/inlmath] je oblika [inlmath]y=-4x-8[/inlmath], a normala je oblika [inlmath]y=\frac{x}{4}+\frac{1}{2}[/inlmath]. Ako te dobro razumem?
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 623
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 641 puta

Re: Tangente i normale

Postod blake » Petak, 22. Novembar 2013, 23:23

Prepisujem s ploče...Eto kako... :angry-fire:
blake  OFFLINE
 
Postovi: 371
Lokacija: Split, Croatia
Zahvalio se: 127 puta
Pohvaljen: 96 puta

Re: Tangente i normale

Postod blake » Petak, 22. Novembar 2013, 23:52

Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju zadanu parametarski sa:
[dispmath]x=\ln(\cos t+1)[/dispmath][dispmath]y=\mathrm{tg}\:t+\mathrm{ctg}\:t[/dispmath]
u točki [dispmath]t=\frac{\pi}{4}[/dispmath][dispmath]T_0(x_0,y_0)=T_0\left(\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right),2\right)[/dispmath][dispmath]y'=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}=\frac{(\cos t+1)\left(\sin^2t-\cos^2t\right)}{-\cos^2t\cdot \sin^3t}[/dispmath][dispmath]y'\left(\frac{\pi}{4}\right)=0[/dispmath][dispmath]\mbox{tangenta...}\:y-2=0\left(x-\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)\right)\;\Rightarrow\;y=2[/dispmath][dispmath]\mbox{normala...}\:x=\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)\:<<<\mbox{ ne razumin kako}[/dispmath]
blake  OFFLINE
 
Postovi: 371
Lokacija: Split, Croatia
Zahvalio se: 127 puta
Pohvaljen: 96 puta

Re: Tangente i normale

Postod Daniel » Subota, 23. Novembar 2013, 00:02

blake je napisao:Nađite jedn. normale i tangente na parabolu [inlmath]y=2x^2+4x[/inlmath] u točkama u kojima parabola siječe os [inlmath]x[/inlmath].

Ubavic je u pravu, dobio je ispravna rešenja. Ovaj postupak što si prepisao s ploče nisam uspeo da shvatim, ali evo načina na koji bih ja rezonovao.

Prvo odredimo koje su to tačke preseka s [inlmath]x[/inlmath]-osom:
[dispmath]y=2x^2+4x=0\quad\Rightarrow\quad 2x\left(x+2\right)=0\quad\Rightarrow\quad x=0\;\lor\;x=-2[/dispmath]
Znači, tačke preseka s [inlmath]x[/inlmath]-osom su [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath].

Koeficijent pravca tangente u nekoj tački funkcije jednak je prvom izvodu u toj tački funkcije, a prvi izvod ove funkcije je:
[dispmath]y'=\left(2x^2+4x\right)'=4x+4=4\left(x+1\right)[/dispmath]


U tački [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath]:
Tangenta:
[dispmath]t_1:\quad y=kx+n,\quad k=y'\left(0\right)=4\left(0+1\right)=4\\
t_1:\quad y=4x+n[/dispmath]
Slobodni parametar [inlmath]n[/inlmath] određujemo iz uslova da tangenta prolazi kroz tačku [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]0=4\cdot 0+n\quad\Rightarrow\quad n=0[/dispmath]
pa je jednačina tangente u tački [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]t_1:\quad y=4x[/dispmath]
Koeficijent pravca normale jednak je negativnoj recipročnoj vrednosti koeficijenta pravca tangente, pošto su normala i tangenta međusobno upravne:
[dispmath]n_1:\quad y=kx+n,\quad k=-\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad y=-\frac{1}{4}x+n[/dispmath]
Pošto i normala prolazi kroz tačku [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath], na osnovu toga nađemo [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]0=-\frac{1}{4}\cdot 0+n\quad\Rightarrow\quad n=0[/dispmath]
pa je jednačina normale u tački [inlmath]\left(0,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]n_1:\quad y=-\frac{1}{4}x[/dispmath]


U tački [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath]:
Tangenta:
[dispmath]t_2:\quad y=kx+n,\quad k=y'\left(-2\right)=4\left(-2+1\right)=-4\\
t_2:\quad y=-4x+n[/dispmath]
Slobodni parametar [inlmath]n[/inlmath] određujemo iz uslova da tangenta prolazi kroz tačku [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]0=-4\cdot\left(-2\right)+n\quad\Rightarrow\quad n=-8[/dispmath]
pa je jednačina tangente u tački [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]t_2:\quad y=-4x-8[/dispmath]
Koeficijent pravca normale jednak je negativnoj recipročnoj vrednosti koeficijenta pravca tangente, pošto su normala i tangenta međusobno upravne:
[dispmath]n_2:\quad y=kx+n,\quad k=\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad y=\frac{1}{4}x+n[/dispmath]
Pošto i normala prolazi kroz tačku [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath], na osnovu toga nađemo [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath]0=\frac{1}{4}\cdot\left(-2\right)+n\quad\Rightarrow\quad n=\frac{1}{2}[/dispmath]
pa je jednačina normale u tački [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath]:
[dispmath]n_2:\quad y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Tangente i normale

Postod blake » Subota, 23. Novembar 2013, 00:14

Pa jesam ja reka da nije dobija točno? Samo provjeravam s vama jesu li mi sumnje opravdane, bezveze si se raspisa :P
blake  OFFLINE
 
Postovi: 371
Lokacija: Split, Croatia
Zahvalio se: 127 puta
Pohvaljen: 96 puta

  • +1

Re: Tangente i normale

Postod Daniel » Subota, 23. Novembar 2013, 00:19

blake je napisao:bezveze si se raspisa :P

:violence-stickwhack: Pa kako možeš to da kažeš? :P Ništa nije bezveze, zar ne vidiš da svaki dan obogaćujem(o) ovu digitalnu riznicu rešenih zadataka? :)
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +1

Re: Tangente i normale

Postod Daniel » Subota, 23. Novembar 2013, 09:05

Na ovaj zamalo da zaboravim...
blake je napisao:Nađite jednadžbu tangente i normale na krivulju zadanu parametarski sa:
[dispmath]x=\ln(\cos t+1)[/dispmath][dispmath]y=\mathrm{tg}\:t+\mathrm{ctg}\:t[/dispmath]
u točki [dispmath]t=\frac{\pi}{4}[/dispmath][dispmath]T_0(x_0,y_0)=T_0\left(\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}\right),2\right)[/dispmath][dispmath]y'=\frac{\dot{y}}{\dot{x}}=\frac{(\cos t+1)\left(\sin^2t-\cos^2t\right)}{-\cos^2t\cdot\sin^3t}[/dispmath][dispmath]y'\left(\frac{\pi}{4}\right)=0[/dispmath][dispmath]\mbox{tangenta...}\:y-2=0\left(x-\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)\right)\;\Rightarrow\;y=2[/dispmath]
[dispmath]\mbox{normala...}\:x=\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)\:<<<\mbox{ ne razumin kako}[/dispmath]

Prvo, imaš grešku u koordinatama tačke [inlmath]T_0[/inlmath]:
blake je napisao:[dispmath]T_0(x_0,y_0)=T_0\left(\ln\left({\color{red}\frac{\sqrt2}{2}}\right),2\right)[/dispmath]

Treba da piše
[dispmath]T_0\left(x_0,y_0\right)=T_0\left[\ln\left(\frac{\sqrt2}{2}{\color{red}+1}\right),2\right][/dispmath]
jer su to vrednosti [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] kada se u izraze za [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] uvrsti [inlmath]t=\frac{\pi}{4}[/inlmath].

Pošto je pokazano da je [inlmath]y'\left(\frac{\pi}{4}\right)=0[/inlmath], a izvod predstavlja nagib tangente u nekoj tački funkcije, to znači da će nagib tangente u tački [inlmath]t=\frac{\pi}{4}[/inlmath] ove funkcije biti [inlmath]0[/inlmath], tj. tangenta u toj tački će biti horizontalna (paralelna s [inlmath]x[/inlmath]-osom). Pošto sve tačke na pravoj koja je paralelna s [inlmath]x[/inlmath]-osom imaju jednake [inlmath]y[/inlmath]-koordinate bez obzira na vrednosti svojih [inlmath]x[/inlmath]-koordinata, u jednačini takve prave neće figurisati [inlmath]x[/inlmath], a [inlmath]y[/inlmath] će biti jednako nekoj konstanti – konstanti koja pokazuje koliko je ta prava pomerena u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu. Zbog toga je sasvim logično da smo za jednačinu te prave dobili [inlmath]y=2[/inlmath].

S druge strane, normala u toj tački funkcije biće upravna na tangentu, a pošto je tangenta u ovom slučaju horizontalna, normala će biti vertikalna, tj. paralelna s [inlmath]y[/inlmath]-osom. Sve tačke na pravoj paralelnoj s [inlmath]y[/inlmath]-osom imaju jednake [inlmath]x[/inlmath]-koordinate, nezavisno od toga kolike su im [inlmath]y[/inlmath]-koordinate. Zbog toga u jednačini prave paralelne s [inlmath]y[/inlmath]-osom ne figuriše [inlmath]y[/inlmath], a [inlmath]x[/inlmath] je jednako konstanti i ta konstanta nam pokazuje odstojanje te prave od [inlmath]y[/inlmath]-ose. Zato je i logično što smo za jednačinu normale dobili [inlmath]x=\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)[/inlmath], budući da [inlmath]\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)[/inlmath] jeste neka konstanta.
Do te jednačine nismo mogli doći standardnim putem, tako što uzmemo negativnu recipročnu vrednost koeficijenta pravca tangente, budući da je koeficijent pravca tangente jednak nuli, pa njegova recipročna vrednost ne bi bila definisana. Ali, pošto znamo da normala koju tražimo prolazi kroz tačku čija je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata [inlmath]x=\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)[/inlmath], a normala je paralelna s [inlmath]y[/inlmath]-osom, tj. sve tačke na normali imaju jednake [inlmath]x[/inlmath]-koordinate, intuitivno zaključujemo da jednačina te normale glasi [inlmath]x=\ln\left(\frac{\sqrt 2}{2}+1\right)[/inlmath].



I, još jedan komentar u vezi s onim prethodnim zadatkom, pošto sam sad bolje osmotrio,
blake je napisao:[dispmath]t_2\ldots y+2=-4(x+2)\;\Rightarrow\;y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}[/dispmath]
Ovo je prvo krivo uvršteno ([inlmath]x_0[/inlmath]), a onda i krivo izračunato ?

I jedno i drugo, krivo je izračunato jer bi iz [inlmath]y+2=-4\left(x+2\right)[/inlmath] sledilo [inlmath]y=-4x-10[/inlmath] a ne to što su oni dobili, a krivo je uvršteno jer, ako tangenta čiji je koeficijent pravca [inlmath]k=-4[/inlmath] prolazi kroz tačku [inlmath]\left(-2,0\right)[/inlmath], tada je njena jednačina [inlmath]y-0=-4\left(x+2\right)[/inlmath], a odatle se dobije [inlmath]y=-4x-8[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta


Povratak na IZVODI FUNKCIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 24 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 16:04 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs