Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Neodredjeni integral

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Neodredjeni integral

Postod Batonja » Nedelja, 09. Jul 2017, 22:48

Kako se ovih dana zlopatim i sa integralima pored diferencijalnih jednacina red je da postavim jedan zadatak:
[dispmath]\int\frac{x^3}{1+\sqrt[3]{x^4+1}}[/dispmath] smena
[dispmath]\sqrt[3]{x^4+1}=t[/dispmath][dispmath]x^4+1=t^3[/dispmath][dispmath]4x^3=3t^2[/dispmath]
[dispmath]\int\frac{x^3}{1+t}\cdot\frac{3t^2}{4x^3}[/dispmath][dispmath]\frac{3}{4}\cdot\int\frac{t^2+1-1}{1+t}[/dispmath][dispmath]\frac{3}{4}\cdot\int\frac{(t-1)\cdot(t+1)}{t+1}+\frac{1}{1+t}[/dispmath][dispmath]\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{t^2}{2}-t+\text{arctg}\sqrt{t}\right)[/dispmath] Moje pitanje je da li gresim negde i da li ovo moze ovako da se radi kada unesem da proverim u integral calculator dobijem dosta komplinkovan izraz sa [inlmath]\ln[/inlmath]-om.
Batonja  OFFLINE
 
Postovi: 82
Zahvalio se: 40 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Neodredjeni integral

Postod Daniel » Nedelja, 09. Jul 2017, 23:14

Integral nikako ne sme ovako da se piše:
Batonja je napisao:[dispmath]\int\frac{x^3}{1+\sqrt[3]{x^4+1}}[/dispmath]

Mora da sadrži [inlmath]\mathrm dx[/inlmath], u protivnom je besmislen.

Takođe,
Batonja je napisao:[dispmath]x^4+1=t^3[/dispmath][dispmath]4x^3=3t^2[/dispmath]

iz prve jednakosti nikako ne sledi ova druga jednakost. Druga jednakost bi bila OK kad bi glasila [inlmath]4x^3\,{\color{red}\mathrm dx}=3t^2\,{\color{red}\mathrm dt}[/inlmath], ali bez tih diferencijala je skroz netačna.

Možeš li ove izraze, integrale i jednakosti napisati kako treba, budući da je ovako skroz nepregledno i zbunjujuće? Pa ćemo nakon toga videti da l' ima neke greške.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6575
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3424 puta
Pohvaljen: 3639 puta

Re: Neodredjeni integral

Postod Batonja » Ponedeljak, 10. Jul 2017, 21:49

[dispmath]\int\frac{x^3}{1+\sqrt[3]{x^4+1}}\,\mathrm dx[/dispmath] smena
[dispmath]\sqrt[3]{x^4+1}\,\mathrm dx=t\,\mathrm dt[/dispmath][dispmath]\left(x^4+1\right)\mathrm dx=\left(t^3\right)\mathrm dt[/dispmath][dispmath]4x^3\mathrm dx=3t^2\mathrm dt[/dispmath]
[dispmath]\int\frac{x^3}{1+t}\cdot\frac{3t^2}{4x^3}\,\mathrm dt[/dispmath][dispmath]\frac{3}{4}\cdot\int\frac{t^2+1-1}{1+t}\,\mathrm dt[/dispmath][dispmath]\frac{3}{4}\cdot\int\frac{(t-1)\cdot(t+1)}{t+1}+\frac{1}{1+t}\,\mathrm dt[/dispmath][dispmath]\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{t^2}{2}-t+\text{arctg}\sqrt{t}\right)[/dispmath]
Dodato samo me zezaju ove velike zagrade pa nisam uspeo da se izborim sa \left i \right ali se dt odnosi anana sve pod integralom :D
Batonja  OFFLINE
 
Postovi: 82
Zahvalio se: 40 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Neodredjeni integral

Postod Corba248 » Ponedeljak, 10. Jul 2017, 23:46

Batonja je napisao:smena
[dispmath]\sqrt[3]{x^4+1}\,{\color{red}\mathrm dx}=t\,{\color{red}\mathrm dt}[/dispmath][dispmath]\left(x^4+1\right){\color{red}\mathrm dx}=\left(t^3\right){\color{red}\mathrm dt}[/dispmath][dispmath]4x^3\mathrm dx=3t^2\mathrm dt[/dispmath]

Ovo nema smisla. Crveno obeleženo je višak. Tek kada nađeš izvod obe strane imaš [inlmath]\mathrm dx[/inlmath] i [inlmath]\mathrm dt[/inlmath].

Greška ti je u sledećem:
[dispmath]\int\frac{1}{1+t}\,\mathrm dt\ne\arctan\sqrt t+C[/dispmath][dispmath]\int\frac{1}{1+t}\,\mathrm dt=\ln|1+t|+C[/dispmath]
Moderator
 
Postovi: 180
Zahvalio se: 29 puta
Pohvaljen: 204 puta

Re: Neodredjeni integral

Postod Daniel » Utorak, 11. Jul 2017, 01:39

Batonja je napisao:Dodato samo me zezaju ove velike zagrade pa nisam uspeo da se izborim sa \left i \right ali se dt odnosi anana sve pod integralom :D

Pretpostavljam da misliš na ovaj korak:
Batonja je napisao:[dispmath]\frac{3}{4}\cdot\int\frac{(t-1)\cdot(t+1)}{t+1}+\frac{1}{1+t}\,\mathrm dt[/dispmath]

Pravilno napisan, glasio bi
[dispmath]\frac{3}{4}\cdot\int\left(\frac{(t-1)\cdot(t+1)}{t+1}+\frac{1}{1+t}\right)\mathrm dt[/dispmath] a Latex-kod bi bio
Kôd: Obeleži sve
\frac{3}{4}\cdot\int\left(\frac{(t-1)\cdot(t+1)}{t+1}+\frac{1}{1+t}\right)\mathrm dt

Znači, nikakva mudrolija – samo se nakon [inlmath]\int[/inlmath] stavi \left( a pre [inlmath]\mathrm dt[/inlmath] se stavi \right).



Što se tiče greške u računanju integrala, da je integral kojim slučajem glasio [inlmath]\int\frac{1}{1+t}\,\mathrm d\left({\color{red}\sqrt t}\right)[/inlmath], e to bi bilo jednako [inlmath]\text{arctg}\sqrt t+C[/inlmath]. Ali, pošto ne glasi [inlmath]\int\frac{1}{1+t}\,\mathrm d\left({\color{red}\sqrt t}\right)[/inlmath] već glasi [inlmath]\int\frac{1}{1+t}\,\mathrm d{\color{red}t}[/inlmath], to je onda jednako [inlmath]\int\frac{1}{1+t}\,\mathrm d(1+t)=\ln|1+t|+C[/inlmath], kô što Corba248 i napisa.

Vidim i da nisi baš upoznat sa suštinom diferencijala, s obzirom na greške koje si napravio, a na koje ti je Corba248 ukazao. Preporučujem ti da to dobro proučiš, jer ti je to osnova i za integrale i uopšte za diferencijalni račun.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6575
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3424 puta
Pohvaljen: 3639 puta

Re: Neodredjeni integral

Postod miros » Četvrtak, 31. Avgust 2017, 19:31

Pozdrav. Da ne otvaram novu temu, može li pomoć oko rješavanja neodređenog integrala?
[dispmath]\int\frac{x^2-5}{x^2-4}\,\mathrm dx=\int\frac{x^2-4-1}{x^2-4}\,\mathrm dx=\int\mathrm dx-\int\frac{1}{x^2-4}\,\mathrm dx=x-\int\frac{1}{-4+x^2}\,\mathrm dx[/dispmath] Pokušao sam na ovaj način svesti na tablični integral, ali nisam siguran jesam li na dobrom putu. Može li me netko uputiti kako dalje nastaviti ili uputiti kako započeti rješavati ako početak nije točan? Koristio sam i online kalkulator za integrale, ali rješenje mi ne izgleda kao neko dobiveno svođenjem na tablični integral. Profesori nam nisu preporučili korištenje online kalkulatora (jer ih malo izvede postupak razumno), jedino za provjeru točnosti rješenja. Je li potrebno koristiti neku drugu metodu za rješavanje ovog zadatka (metoda supstitucije)?
miros  OFFLINE
 
Postovi: 4
Zahvalio se: 10 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +3

Re: Neodredjeni integral

Postod Igor » Četvrtak, 31. Avgust 2017, 20:30

Ovde je sporan integral [inlmath]\int\frac{1}{x^2-4}\,\mathrm dx[/inlmath] i on se može rešiti metodom neodređenih koeficijenata.
[dispmath]\int\frac{1}{x^2-4}\,\mathrm dx=\int\frac{1}{(x-2)\cdot(x+2)}\,\mathrm dx=\int\frac{A}{x-2}\,\mathrm dx+\int\frac{B}{x+2}\,\mathrm dx[/dispmath][dispmath]\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x+2}=\frac{1}{(x-2)\cdot(x+2)}[/dispmath][dispmath]x\cdot A+2\cdot A+x\cdot B-2\cdot B=1[/dispmath][dispmath](A+B)\cdot x+2\cdot(A-B)=1[/dispmath] Odavde je [inlmath]A+B=0[/inlmath], a [inlmath]2\cdot(A-B)=1[/inlmath]. Rešavanjem ovog sistema dobija se: [inlmath]A=\frac{1}{4}[/inlmath] i [inlmath]B=-\frac{1}{4}[/inlmath].
Vraćanjem u polazni integral imamo:
[dispmath]\int\frac{1}{x^2-4}\,\mathrm dx=\int\frac{A}{x-2}\,\mathrm dx+\int\frac{B}{x+2}\,\mathrm dx=\int\frac{\frac{1}{4}}{x-2}\,\mathrm dx+\int\frac{-\frac{1}{4}}{x+2}\,\mathrm dx[/dispmath] Dalje rešavanje ne predstavlja problem... Ja dobijam kao konačno rešenje (za integral [inlmath]\int\frac{1}{x^2-4}\,\mathrm dx[/inlmath], ne za ceo zadatak!): [inlmath]\Large\enclose{box}{\ln\frac{(x-2)^{\frac{1}{4}}\cdot C}{(x+2)^{\frac{1}{4}}}}[/inlmath].

Nadam se da sam pomogao. Ako ti nešto nije jasno, slobodno pitaj.
The only way to learn mathematics is to do mathematics. - Paul Halmos
Korisnikov avatar
Igor  OFFLINE
Hiljaditi član foruma
 
Postovi: 45
Lokacija: Aranđelovac
Zahvalio se: 12 puta
Pohvaljen: 44 puta

  • +2

Re: Neodredjeni integral

Postod Daniel » Petak, 01. Septembar 2017, 00:17

Samo mala korekcija za krajnji izraz – umesto oblih treba da stoje apsolutne zagrade (jer je [inlmath]\int\frac{\mathrm dx}{x}=\ln|x|+c[/inlmath]).
Dakle, [inlmath]\Large\enclose{box}{\ln\frac{|x-2|^{\frac{1}{4}}\cdot C}{|x+2|^{\frac{1}{4}}}}[/inlmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 6575
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3424 puta
Pohvaljen: 3639 puta

  • +2

Re: Neodredjeni integral

Postod bobanex » Petak, 01. Septembar 2017, 09:19

[dispmath]\frac{1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{4}\frac{x+2-\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}\right)[/dispmath] U jednostavnijim slučajevima može se izbeći upotreba metode neodređenih koeficijenata.
Korisnikov avatar
bobanex  OFFLINE
 
Postovi: 376
Lokacija: Požarevac
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 369 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 21. Septembar 2017, 07:19 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs