Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Integral po definiciji

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Integral po definiciji

Postod Akke » Utorak, 04. Septembar 2018, 15:48

Pozdrav
Muci me jedan zadatak koji glasi, izracunati po definiciji vrednost integrala
[dispmath]\int\limits_{-1}^2x^2\,\mathrm dx[/dispmath] Dakle zadatak treba uraditi po definiciji preko rimanovih suma ja sam radio slican zadatak gde su granice bile od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]1[/inlmath] i za njega sam uzeo podelu [inlmath]\frac{i}{n}[/inlmath].
E sad ne znam kako da podelim ovaj segment pa ako neko moze da pomogne, zahvaljujem :D
Akke  OFFLINE
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Integral po definiciji

Postod Corba248 » Utorak, 04. Septembar 2018, 23:46

Pošto sam na nekim mestima (doduše malobrojnim) viđao i drugu definiciju određenog Rimanovog integrala od one koju ja znam napisaću je ukratko.
Segment [inlmath][a,b][/inlmath] delimo na konačan skup tačaka [inlmath]P=\left\{x_0,x_1,\ldots,x_n\right\}[/inlmath] takav da je [inlmath]a\equiv x_0<x_1<\cdots<x_n\equiv b[/inlmath]. Na segmentu [inlmath][x_i,x_{i-1}][/inlmath] biramo proizvoljnu tačku [inlmath]\xi_i[/inlmath] ([inlmath]\xi=(\xi_1,\xi_2,\ldots,\xi_n)[/inlmath] nazivamo istaknute tačke podele [inlmath]P[/inlmath]). Norma podele [inlmath]P[/inlmath] je broj [inlmath]||P||=\max\limits_{1\le i\le n}(x_i-x_{i-1})[/inlmath] tj. maksimalna dužina podsegmenta. Rimanovu (integralnu) sumu funkcije [inlmath]f[/inlmath] na segmentu [inlmath][a,b][/inlmath] smo definisali kao [inlmath]\sum\limits_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})[/inlmath], a ako postoji realan broj [inlmath]I[/inlmath] takav da za svaku podelu [inlmath]P[/inlmath] segmenta [inlmath][a,b][/inlmath] i za svaki izbor istaknutih tačaka [inlmath]\xi[/inlmath] važi
[dispmath]\lim_{||P||\to0}\left(\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\right)=I[/dispmath] onda je realan broj [inlmath]I[/inlmath] Rimanov određeni integral funkcije [inlmath]f[/inlmath] na segmentu [inlmath][a,b][/inlmath].
Funkcija [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath] je svakako integrabilna na segmentu [inlmath][-1,2][/inlmath] (jer je neprekidna), pa o samoj integrabilnosti date funkcije ne moramo brinuti. Kako znamo da za svaku podelu datog segmenta moramo dobiti isti rezultat odabraćemo onu koja nam najviše odgovara, a to je ekvidistantna podela tj. dati segment delimo na [inlmath]n[/inlmath] jednakih delova i za [inlmath]\xi_i[/inlmath] biramo krajnje desne tačke tih intervala. Dakle, svaki podsegment je jednak [inlmath]x_i-x_{i-1}=\frac{3}{n}[/inlmath] pa to izlazi ispred sume. Imamo
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n\left(-1+\frac{3i}{n}\right)^2\right)=3[/dispmath]
Ove međukorake ostavljam tebi da uradiš.
Moderator
 
Postovi: 277
Zahvalio se: 33 puta
Pohvaljen: 306 puta

  • +1

Re: Integral po definiciji

Postod Daniel » Sreda, 05. Septembar 2018, 01:24

@Akke, možda bi ti bilo korisno da pogledaš i ovu i ovu temu, imaju sličnosti s tvojim zadatkom.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7286
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3784 puta
Pohvaljen: 3948 puta

Re: Integral po definiciji

Postod Akke » Sreda, 05. Septembar 2018, 14:15

Razumeo sam sve do ovog koraka
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n\left(-1+\frac{3i}{n}\right)^2\right)=3[/dispmath] tj. tacnije ne razumem kako se dobije ovo [inlmath]\left(-1+\frac{3i}{n}\right)^2[/inlmath]
I hvala na odgovorima :D
Akke  OFFLINE
 
Postovi: 10
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Integral po definiciji

Postod Corba248 » Sreda, 05. Septembar 2018, 18:25

To je vrednost funkcije u krajnjoj desnoj tački svakog podintervala. Za prvi će biti [inlmath]( -1+\frac{3}{n})^2[/inlmath], pa za drug [inlmath](-1+\frac{3}{n}\cdot 2)^2[/inlmath] itd.
Moderator
 
Postovi: 277
Zahvalio se: 33 puta
Pohvaljen: 306 puta

Re: Integral po definiciji

Postod Daniel » Četvrtak, 06. Septembar 2018, 23:51

Ili, da kažemo ovako:
Ceo interval od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]2[/inlmath] ima dužinu [inlmath]3[/inlmath] (jer je [inlmath]2-(-1)=3[/inlmath]), pa kad se taj interval izdeli na [inlmath]n[/inlmath] jednakih podintervala, svaki od tih podintervala će biti dužine [inlmath]\frac{3}{n}[/inlmath]. Prvi podinterval je od [inlmath]-1[/inlmath] do [inlmath]-1+\frac{3}{n}[/inlmath], drugi podinterval je od [inlmath]-1+\frac{3}{n}[/inlmath] do [inlmath]-1+2\cdot\frac{3}{n}[/inlmath] itd.
[inlmath]i[/inlmath]-ti podinterval je od [inlmath]-1+(i-1)\cdot\frac{3}{n}[/inlmath] do [inlmath]-1+i\cdot\frac{3}{n}[/inlmath].
Znači, krajnja desna tačka [inlmath]i[/inlmath]-tog podintervala je [inlmath]-1+i\cdot\frac{3}{n}[/inlmath].
Pošto je u pitanju funkcija [inlmath]f(x)=x^2[/inlmath], potrebno je vrednost te krajnje desne tačke kvadrirati. Odatle [inlmath]\left(-1+i\cdot\frac{3}{n}\right)^2[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel   ONLINE
Administrator
 
Postovi: 7286
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 3784 puta
Pohvaljen: 3948 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 2 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 25. Septembar 2018, 09:57 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs