Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Izračunavanje zapremine tela pomoću trostrukog integrala i sfernih koordinata

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Izračunavanje zapremine tela pomoću trostrukog integrala i sfernih koordinata

Postod ffilipovicc98 » Nedelja, 08. Septembar 2019, 02:17

Pozdrav svima,

Imam jednu nedoumicu koja mi se javila već u nekoliko zadataka. Ukratko, granice ne postavim isto kao u rešenju zbirke, a opet dobijem tačno. Znam da granice nisu jedinstvene, ali svakako mi je čudno. Evo primera:

Izračunati zapreminu tela [inlmath]T= \left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x^2+y^2+z^2 \leq 9, z^2 \geq \displaystyle \frac{x^2+y^2}{3}, z \geq 0 \right\}[/inlmath].

S obzirom da u ovom primeru imamo presek "gornje" polovine konusa i "gornje" polovine lopte, pogodna je situacija da se upotrebe sferne koordinate i da napravimo odgovarajuću smenu.
Na slici 1, za [inlmath]x=0[/inlmath], vidimo grafike potrebnih delova krivih [inlmath]x^2+y^2=9[/inlmath] i [inlmath]z= \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}|y|[/inlmath]. Odatle lako vidimo da [inlmath]0 \leq \rho \leq 3[/inlmath] i [inlmath]0 \leq \phi \leq \displaystyle \frac{\pi}{3}[/inlmath]. E sad, pošto smo odredili granice za [inlmath]\rho[/inlmath] i [inlmath]\phi[/inlmath] treba još da vidimo koliko treba da se okrenemo oko [inlmath]z[/inlmath]-ose, odnosno da odredimo [inlmath]\theta[/inlmath]. Pošto za svaki presek ravni oblika [inlmath]z=a, a\in (0,3)[/inlmath] i konusa ili omotača lopte dobijemo kružnicu, i to celu, meni je logično da [inlmath]0 \leq \theta \leq 2 \pi[/inlmath]. I za ovako postavljene granice dobije se tačan rezlutat [inlmath]9 \pi[/inlmath]. U knjizi su istim načinom razmišljanja došli do sledećih granica [inlmath]- \pi \leq \theta \leq \pi[/inlmath], a za [inlmath]\rho[/inlmath] i [inlmath]\phi[/inlmath] su iste. Rezultat je isti. Ja pretpostavljam da se ovde desilo sledeće: funkcija [inlmath]f(x,y,z) = 1[/inlmath] koju integralimo prema određenim granicama je simetrična, pa se zbog različitih znakova sinusa i kosinusa u različitim kvadrantima nekako pokrate neki isti medjurezultati. Na primer skrati se vrednost integrala iz trećeg i četvrtog kvadranta kad posmatramo [inlmath]\theta[/inlmath]. Ako sam dobro predvideo, kako oni u rešenju u knjizi tako olako koriste tu činjenicu bez objašnjenja sličnog prethodnoj rečenici. Kako se uopšte može govoriti o zapremini celog tela, ako se ono ne obiđe celo, s obzirom da je funkciju tri promenljive teško zamisliti i zaključiti da li je simetrična? Ili sam ja nešto pogrešno ovde radio, a slučajno dobio dobro rešenje?

P.S. Slika nema mnogo veze sa nedoumicom, pa se može ukloniti da ne prekipi memorija :D
Prikačeni fajlovi
Screenshot_20190908_023409.png
Slika1
Screenshot_20190908_023409.png (38.89 KiB) Pogledano 198 puta
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 41 puta
Pohvaljen: 12 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Izračunavanje zapremine tela pomoću trostrukog integrala i sfernih koordinata

Postod ubavic » Nedelja, 08. Septembar 2019, 11:51

Pozdrav kolega.
ffilipovicc98 je napisao:Ja pretpostavljam da se ovde desilo sledeće: funkcija [inlmath]f(x,y,z)=1[/inlmath] koju integralimo prema određenim granicama je simetrična, pa se zbog različitih znakova sinusa i kosinusa u različitim kvadrantima nekako pokrate neki isti medjurezultati.

Da, podintegralna funkcija je veoma simetrična (preciznije, ona je parna u odnosu na sve koordinate), ali ovde ne dolazi do skraćivanja. Ako posmatramo integral [dispmath]T=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\int_{0}^3 1 \, d\rho\, d\phi \, d\theta,[/dispmath] primetićemo da je on oblika [inlmath]T=\int_{0}^{2\pi} C\, d\theta[/inlmath], gde je [inlmath]C[/inlmath] konstanta (i to baš površina kružnog isečka koji je na tvojoj slici obeležen sa uglom [inlmath]\phi[/inlmath], ali to sad nije ni bitno). Prema tome, za granice integracije bi se mogli uzeti krajevi bilo kog intervala čija je dužina [inlmath]2\pi[/inlmath] (jer integralimo konstantnu funkciju, pa integral samo zavisi od dužine intervala integracije). I malo opštije, dovoljno bi bilo da je [inlmath]C=C(\theta)[/inlmath] neka [inlmath]2\pi[/inlmath] periodična funkcija, što je najčešće i slučaj.

ffilipovicc98 je napisao:Kako se uopšte može govoriti o zapremini celog tela, ako se ono ne obiđe celo...

U oba slučaja se obilazi celo telo. Mislim da to tebe buni.
Korisnikov avatar
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 533
Lokacija: Zrenjanin
Zahvalio se: 348 puta
Pohvaljen: 521 puta

Re: Izračunavanje zapremine tela pomoću trostrukog integrala i sfernih koordinata

Postod ffilipovicc98 » Nedelja, 08. Septembar 2019, 13:17

Sada je sve jasno, zapravo ne mogu da verujem šta me je bunilo. Meni je sinoć delovalo da je dužina intervala [inlmath][-\pi, \pi][/inlmath] jednaka [inlmath]\pi[/inlmath], što je bio glavni izvor zabune. Preforsira se čovek u roku, pa pita gluposti.
Hvala kolega na detaljnom objašnjenju. :D
 
Postovi: 28
Zahvalio se: 41 puta
Pohvaljen: 12 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 1 gost


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Subota, 23. Novembar 2019, 02:23 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs