Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Rešavanje određenog integrala

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Rešavanje određenog integrala

Postod drinkača » Subota, 04. Januar 2020, 17:13

Pre otprilike dva meseca u ovoj temi sam videla određeni integral:
[dispmath]\int\limits_{-1}^1\frac{\mathrm dx}{(a-x)\sqrt{1-x^2}},[/dispmath] uslov [inlmath]a>1[/inlmath] (ne znam zbog čega ovaj uslov?) koji sam rešavala pomoću smene:[dispmath]t^2=1-x^2[/dispmath] čak i parcijalnom integracijom, ali nikako nisam dobila rešenje. Sutradan ovog zadatka nije bilo na forumu! Da li neko može da pokaže kako se rešava ovaj zadatak?
BANOVAN (klon)
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Rešavanje određenog integrala

Postod primus » Subota, 04. Januar 2020, 17:57

Probaj da ga rešiš pomoću smene: [inlmath]x=\sin t[/inlmath]
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 35
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 36 puta

Re: Rešavanje određenog integrala

Postod drinkača » Subota, 04. Januar 2020, 20:10

Posle predložene smene dobijam ovaj integral koji ne mogu da rešim!
[dispmath]\int\limits_\frac{-\pi}{2}^\frac{\pi}{2}\frac{\mathrm dt}{a-\sin t}[/dispmath]
BANOVAN (klon)
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 1 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Rešavanje određenog integrala

Postod primus » Nedelja, 05. Januar 2020, 07:57

Uvedi smenu: [inlmath]s=\text{tg}\left(\frac{t}{2}\right)[/inlmath]
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 35
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 36 puta

  • +1

Re: Rešavanje određenog integrala

Postod arsenije » Nedelja, 05. Januar 2020, 13:29

Drinkača, Primus je pokušao da pomogne, ali ne može tako. Integral se rešava:
uvodi se smena:
[dispmath]1-x=t^2\cdot(1+x)\\
\Longrightarrow\;x=\frac{1-t^2}{t^2+1}\\
\Longrightarrow\;\mathrm dx=\frac{-4t\cdot(\mathrm dt)}{\left(t^2+1\right)^2}\\
\Longrightarrow\;t=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\\
a-x=\frac{(a+1)t^2+a-1}{t^2+1}\\
\sqrt{1-x^2}=\sqrt{(1-x)(1+x)}=\frac{2t}{t^2+1}[/dispmath] Sada integral postaje:
[dispmath]\int\limits_\infty^0\frac{\frac{-4t\cdot(dt)}{\left(t^2+1\right)^2}}{\frac{\left(t^2\cdot(a+1)+a-1\right)\cdot(2t)}{\left(t^2+1\right)\left(t^2+1\right)}}[/dispmath] Posle skraćivanja i zbog minusa menjamo granice integrala i on postaje:
[dispmath]\int\limits_0^\infty{\frac{2\,\mathrm dt}{t^2(a+1)+a-1}},[/dispmath] sad kad podelimo integral sa [inlmath]a-1[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]\frac{2}{a-1}\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm dt}{\frac{a+1}{a-1}\left(t^2\right)+1},[/dispmath] sad uvodimo novu smenu:
[dispmath]t\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}=u,\qquad\Longrightarrow\qquad\mathrm dt=\mathrm du\,\frac{\sqrt{(a-1)}}{\sqrt{(a+1)}},[/dispmath] pa dobijamo:
[dispmath]\frac{2}{\sqrt{a^2-1}}\int\limits_0^\infty\frac{\mathrm du}{u^2+1}[/dispmath] i ovo je sad tablični integral po [inlmath]\text{arctg }u[/inlmath], i lako se dobija konačno rešenje [inlmath]\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{a^2-1}}[/inlmath], i sad je jasno zašto je onaj uslov na početku!
Poslednji put menjao Daniel dana Nedelja, 05. Januar 2020, 16:12, izmenjena samo jedanput
Razlog: Korekcija Latexa
BANOVAN (klon)
 
Postovi: 36
Zahvalio se: 3 puta
Pohvaljen: 2 puta

Re: Rešavanje određenog integrala

Postod Daniel » Ponedeljak, 06. Januar 2020, 00:50

Nakon otkrivanja da je „drinkača“ klonirani nalog korisnika „arsenije“, postupio sam po tački 24. Pravilnika, kojom je predviđeno banovanje oba korisnička naloga.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7834
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4102 puta
Pohvaljen: 4173 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 19. Januar 2020, 03:27 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs