Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Integracija racionalnih funkcija

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Re: Integracija racionalnih funkcija

Postod Daniel » Četvrtak, 26. Mart 2015, 20:22

nulixos je napisao:mozete li mi uraditi ovaj zadatak malo me buni kad nema nula funkcija u imeniocu:
[dispmath]\int\frac{x^3}{x^2+x+1}\mathrm dx[/dispmath]

Najlakše je reći „možete li mi uraditi ovaj zadatak“. Potrudi se malo, na drugoj stranici ove iste teme, u ovom postu, detaljno sam opisao postupak kad u imeniocu nemaš nule. Štaviše, na taj post sam i linkovao tačno tri posta ranije, ne znam kako ti je to promaklo?

Naravno, potrebno je prethodno da ovaj razlomak svedeš na oblik u kome je polinom u brojiocu manjeg stepena od polinoma u imeniocu, a kako se to radi objasnio sam u ovom postu.

Dakle, imaš sva uputstva, sve što je potrebno to je da postupiš po njima. Ako ti negde nešto ne bude jasno, napiši svoj postupak da vidimo kako si radio i na kom mestu se pojavio problem.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Integracija racionalnih funkcija

Postod nulixos » Četvrtak, 26. Mart 2015, 21:07

Znam to dobijam integral pa ga ne znam rijesiti pa da provjerim kako se radi od pocetka

Dobijam nesto ovako, pa ako ga mozete provjeriti dobija li se bas ovaj i ntegral i kako ga rijesiti:
[dispmath]\int\frac{1}{x^2+x+1}\mathrm dx[/dispmath]
nulixos  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Integracija racionalnih funkcija

Postod Daniel » Četvrtak, 26. Mart 2015, 21:14

Tako je, dobije se taj integral. Zapravo, dobije se zbir dva integrala, od kojih se prvi lako rešava, a drugi je taj koji si napisao:
[dispmath]\int\left(x-1\right)\mathrm dx+\int\frac{\mathrm dx}{x^2+x+1}[/dispmath]
E sad, ovaj drugi integral radiš po uputstvu iz onog posta na koji sam ti dao link.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Integracija racionalnih funkcija

Postod nulixos » Četvrtak, 26. Mart 2015, 22:19

Meni na ovaj integral ispada nesto mnogo cudan rezultat, ne razumijem gdje je greska...

Evo postupka:
[dispmath]\int\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\mathrm dx[/dispmath]
Sada izvucem [inlmath]\frac{3}{4}[/inlmath] i onda uvedem smjenu [inlmath]\sqrt{\frac{4}{3}}x+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{3}}[/inlmath]
nulixos  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Integracija racionalnih funkcija

Postod Daniel » Četvrtak, 26. Mart 2015, 22:25

Tako je. :good:
Imaj u vidu da [inlmath]\sqrt{\frac{4}{3}}[/inlmath] možeš napisati i kao [inlmath]\frac{2}{\sqrt3}[/inlmath], ili, posle racionalizacije, kao [inlmath]\frac{2\sqrt3}{3}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Integracija racionalnih funkcija

Postod nulixos » Četvrtak, 26. Mart 2015, 22:29

Ok. Hvala puno na pomoci.
nulixos  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Integracija racionalnih funkcija

Postod Daniel » Četvrtak, 26. Mart 2015, 22:34

Nema na čemu.
Dakle, kao konačan rezultat treba da dobiješ
[dispmath]\int\frac{x^3}{x^2+x+1}\mathrm dx=\frac{x^2}{2}-x+\frac{2\sqrt3}{3}\mathrm{arctg}\frac{\left(2x+1\right)\sqrt3}{3}x+c[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Integracija racionalnih funkcija

Postod nulixos » Četvrtak, 26. Mart 2015, 22:40

Evo uparvo sam dobio to.
nulixos  OFFLINE
 
Postovi: 11
Zahvalio se: 2 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +1

Re: Integracija racionalnih funkcija

Postod desideri » Petak, 27. Mart 2015, 09:36

nulixos je napisao:Meni na ovaj integral ispada nesto mnogo cudan rezultat, ne razumijem gdje je greska...

Evo postupka:
[dispmath]\int\frac{1}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\mathrm dx[/dispmath]
Sada izvucem [inlmath]\frac{3}{4}[/inlmath] i onda uvedem smjenu [inlmath]\sqrt{\frac{4}{3}}x+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4}{3}}[/inlmath]

Koliko mi je poznato, uobičajeno je (i profesori to uglavnom dozvoljavaju) da se ovaj integral uradi kao tablični, odmah. U opštijem slučaju je:
[dispmath]\int\frac{1}{\left(x+b\right)^2+a^2}\mathrm dx=\frac{1}{a}\mathrm{arctg}\frac{x+b}{a}+C[/dispmath]
A u još opštijem:
[dispmath]\int\frac{1}{\left(Ax+b\right)^2+a^2}\mathrm dx=\frac{1}{aA}\mathrm{arctg}\frac{Ax+b}{a}+C[/dispmath]
Svakako je ipak najsigurnije raditi preko smene, tako se vidi ceo postupak. No nije loše imati i ovo u vidu, zbog kontrole dobijenog rezultata.
Korisnikov avatar
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 1542
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 1097 puta
Pohvaljen: 864 puta

  • +1

Re: Integracija racionalnih funkcija

Postod bole » Ponedeljak, 08. Februar 2016, 16:53

Daniel je napisao:[dispmath]\int\frac{3x-2}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=[/dispmath]
Prvo gledamo da brojilac svedemo na izvod imenioca, a izvod imenioca je u ovom slučaju [inlmath]4x-3[/inlmath]:
[dispmath]=\frac{3}{4}\int\frac{4x-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\int\frac{4x-3}{2x^2-3x+4}\mathrm dx+\frac{3}{4}\int\frac{3-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\frac{3}{4}\int\frac{\mathrm d\left(2x^2-3x+4\right)}{2x^2-3x+4}+\frac{3}{4}\int\frac{\frac{1}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\ln\left|2x^2-3x+4\right|+\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-3x+4}[/dispmath]

(ovaj post)

ako smijem predložiti malo drugačiji način za rješavanje ovog integrala, prvi dio je isti a drugi dio bi ja malo drugačije (drugi integral [inlmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-3x+4}[/inlmath]), a to je svođenjem imenioca na potpun kvadrat pomoću izraza
[dispmath]a\cdot x^2+b\cdot x+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}[/dispmath]
ili kako se valjda još zove svođenje na kanonski oblik
i onda dobijemo da je
[dispmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-3x+4}=\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{23}{8}}=2\int\frac{\mathrm dx}{\left(4x-3\right)^2+23}[/dispmath]
i sad bi ja to posmatrao kao tablični integral pošto imam izveden izraz da je
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{(A\cdot x\pm b)^2+a^2}=\frac{1}{A\cdot a}\cdot\text{arctg }\frac{A\cdot x\pm b}{a}+C[/dispmath]
ali hajde da to uradimo "pješke", znači:
[dispmath]2\int\frac{\mathrm dx}{\left(4x-3\right)^2+23}=\frac{2}{23}\int\frac{\mathrm dx}{\left(\frac{4x-3}{\sqrt{23}}\right)^2+1}=\begin{bmatrix}
\frac{4x-3}{\sqrt{23}}=t & \mathrm dx=\frac{\sqrt{23}}{4}\mathrm dt\\
4\mathrm dx=\sqrt{23}\,\mathrm dt
\end{bmatrix}=[/dispmath][dispmath]=\frac{\sqrt{23}}{46}\int\frac{\mathrm dt}{t^2+1}=\frac{\sqrt{23}}{46}\text{arctg }t=\frac{\sqrt{23}}{46}\text{arctg}\left(\frac{4x-3}{\sqrt{23}}\right)[/dispmath]
p.s. valjda nisam napravio neku grešku u prekucavanju, često mi se to dešava :D
bole  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 76
Lokacija: Banja Luka
Zahvalio se: 29 puta
Pohvaljen: 91 puta

Prethodna

Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 47 gostiju

cron

Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 10:09 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs