Daniel je napisao:[dispmath]\int\frac{3x-2}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=[/dispmath]
Prvo gledamo da brojilac svedemo na izvod imenioca, a izvod imenioca je u ovom slučaju [inlmath]4x-3[/inlmath]:
[dispmath]=\frac{3}{4}\int\frac{4x-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\int\frac{4x-3}{2x^2-3x+4}\mathrm dx+\frac{3}{4}\int\frac{3-\frac{8}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=[/dispmath][dispmath]=\frac{3}{4}\int\frac{\mathrm d\left(2x^2-3x+4\right)}{2x^2-3x+4}+\frac{3}{4}\int\frac{\frac{1}{3}}{2x^2-3x+4}\mathrm dx=\frac{3}{4}\ln\left|2x^2-3x+4\right|+\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-3x+4}[/dispmath]
(
ovaj post)
ako smijem predložiti malo drugačiji način za rješavanje ovog integrala, prvi dio je isti a drugi dio bi ja malo drugačije (drugi integral [inlmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-3x+4}[/inlmath]), a to je svođenjem imenioca na potpun kvadrat pomoću izraza
[dispmath]a\cdot x^2+b\cdot x+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a}[/dispmath]
ili kako se valjda još zove svođenje na kanonski oblik
i onda dobijemo da je
[dispmath]\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2x^2-3x+4}=\frac{1}{4}\int\frac{\mathrm dx}{2\left(x-\frac{3}{4}\right)^2+\frac{23}{8}}=2\int\frac{\mathrm dx}{\left(4x-3\right)^2+23}[/dispmath]
i sad bi ja to posmatrao kao tablični integral pošto imam izveden izraz da je
[dispmath]\int\frac{\mathrm dx}{(A\cdot x\pm b)^2+a^2}=\frac{1}{A\cdot a}\cdot\text{arctg }\frac{A\cdot x\pm b}{a}+C[/dispmath]
ali hajde da to uradimo "pješke", znači:
[dispmath]2\int\frac{\mathrm dx}{\left(4x-3\right)^2+23}=\frac{2}{23}\int\frac{\mathrm dx}{\left(\frac{4x-3}{\sqrt{23}}\right)^2+1}=\begin{bmatrix}
\frac{4x-3}{\sqrt{23}}=t & \mathrm dx=\frac{\sqrt{23}}{4}\mathrm dt\\
4\mathrm dx=\sqrt{23}\,\mathrm dt
\end{bmatrix}=[/dispmath][dispmath]=\frac{\sqrt{23}}{46}\int\frac{\mathrm dt}{t^2+1}=\frac{\sqrt{23}}{46}\text{arctg }t=\frac{\sqrt{23}}{46}\text{arctg}\left(\frac{4x-3}{\sqrt{23}}\right)[/dispmath]
p.s. valjda nisam napravio neku grešku u prekucavanju, često mi se to dešava