Pozdrav. Misliš, sabiraju dve zapremine? [inlmath]V=V_1+V_2[/inlmath]
Dve zadate parabole izgledale bi ovako:
- zapremina.png (2.88 KiB) Pogledano 4762 puta
Ove dve parabole imaju dve presečne tačke, a zbog simetrije u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu (jer u jednačinama parabola [inlmath]x[/inlmath] figuriše samo u okviru [inlmath]x^2[/inlmath]), [inlmath]y[/inlmath]-koordinate obe presečne tačke biće jednake.
Figura koja rotira sastoji se iz dva dela, na slici obeleženih žućkasto i zelenkasto. Ova prva je ograničena parabolom [inlmath]y=4-x^2[/inlmath] za vrednosti [inlmath]y[/inlmath] od [inlmath]y[/inlmath]-koordinate presečnih tačaka pa do [inlmath]4[/inlmath], dok je ova druga ograničena parabolom [inlmath]y=3x^2[/inlmath] za vrednosti [inlmath]y[/inlmath] od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]y[/inlmath]-koordinate presečnih tačaka.
[inlmath]y[/inlmath]-koordinatu presečnih tačaka je moguće odrediti tako što jednačine ove dve parabole posmatramo kao sistem jednačina i rešimo ga po [inlmath]y[/inlmath]:
[dispmath]\begin{array}{l}
y=3x^2\\
y=4-x^2
\end{array}\quad\Rightarrow\quad\begin{array}{l}
y=3x^2\\
3y=12-3x^2
\end{array}\quad\Rightarrow\quad y+3y=\cancel{3x^2}+12-\cancel{3x^2}\quad\Rightarrow\quad\underline{y=3}[/dispmath]
Znači, zapreminu [inlmath]V_1[/inlmath], koja bi se dobila rotiranjem žućkaste površine oko [inlmath]y[/inlmath]-ose računamo tako što primenimo formulu s granicama od [inlmath]3[/inlmath] do [inlmath]4[/inlmath], a zapreminu [inlmath]V_2[/inlmath], koja bi se dobila rotiranjem zelenkaste površine oko [inlmath]y[/inlmath]-ose računamo tako što primenimo formulu s granicama od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]3[/inlmath]. Tražena zapremina posmatranog rotirajućeg tela biće zbir te dve zapremine. Upravo tako su oni radili.
Nemoj da te zbuni to što se ovde integracija vrši po promenljivoj [inlmath]y[/inlmath] umesto po [inlmath]x[/inlmath], tj. unutar integrala nam figuriše [inlmath]\mathrm dy[/inlmath], iako u originalnoj formuli, [inlmath]V=\pi\int\limits_a^b f^2\left(x\right)\mathrm dx[/inlmath], figuriše [inlmath]\mathrm dx[/inlmath]. To je zbog toga što figura u ovom zadatku rotira oko [inlmath]y[/inlmath]-ose, a ne oko [inlmath]x[/inlmath]-ose, pa zbog toga ne posmatramo [inlmath]y=f\left(x\right)[/inlmath], već [inlmath]x=f\left(y\right)[/inlmath].
Zbog toga ovde formula za zapreminu ne glasi [inlmath]V=\pi\int\limits_a^b y^2\mathrm dx[/inlmath], već [inlmath]V=\pi\int\limits_a^b x^2\mathrm dy[/inlmath] ([inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] su zamenili mesta).
Znači, parabolu [inlmath]y=3x^2[/inlmath] pišemo kao [inlmath]x^2=\frac{y}{3}[/inlmath], a parabolu [inlmath]y=4-x^2[/inlmath] pišemo kao [inlmath]x^2=4-y[/inlmath] i to uvrštavamo u formulu za zapreminu umesto [inlmath]x^2[/inlmath].
Sličan slučaj smo već imali u
ovom zadatku.