Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica MATEMATIČKA ANALIZA INTEGRALI

Odredjeni integral (definicija limesa sume (Rimanove sume))

[inlmath]\int xe^x\mathrm dx[/inlmath]

Odredjeni integral (definicija limesa sume (Rimanove sume))

Postod milosacimovicmld » Sreda, 10. Septembar 2014, 21:27

Odeljak 3.3.1. zadatak 3. knjiga Matematika za IV razred srednje skole
Izracunaj [inlmath]\int\limits_a^b\frac{\mathrm dx}{x^2}\;(a,b\in\mathbb{R},\;0<a<b)[/inlmath] deleci interval integracije na proizvoljan nacin i birajuci za tacke [inlmath]\xi_i[/inlmath] geometrijske sredine apscisa krajeva podeljaka, tj. stavljajuci [inlmath]\xi_i=\sqrt{x_i\cdot x_{i+1}}[/inlmath]. Napomenucu zarad oznaka u ovom zadatku da je za [inlmath]i[/inlmath]-ti podeljak [inlmath][x_i,x_{i+1}][/inlmath] uzeta tacka [inlmath]\xi_i[/inlmath] gde je [inlmath]i=1,2,3,\ldots ,n-1[/inlmath] i da je za odredjeni integral definicija sledeca [inlmath]I=\int\limits_a^b f(x)\mathrm dx=\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\xi_i)\Delta x_i[/inlmath].
Ok prvo sam krenuo da svedem ovu sumu na nesto zgodno, a pod "zgodno" podrazumevam izraz ciji bi se limes kada [inlmath]n[/inlmath] tezi beskonacnosti lako izracunao. Problem, ja mislim, je nastao u mom izboru podeljaka ovog intervala integracije jer onda ne mogu sumu da svedem ni na koji lep izraz. Dakle izabrao sam za podeljke [inlmath]\frac{b-a}{n}[/inlmath] ali opet kazem kada ubacim u sumu koju razvijem dobijem kobasicu od razlomaka koju nema sanse da svedem na zajednicki imenilac. Ako nije jasno napisacu moj postupak, ali kako jeste molim vas uputite me.
 
Postovi: 38
Zahvalio se: 44 puta
Pohvaljen: 6 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Odredjeni integral (definicija limesa sume (Rimanove sume))

Postod Daniel » Četvrtak, 11. Septembar 2014, 01:53

Znači,
[dispmath]I=\int\limits_a^b f\left(x\right)\mathrm dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}f\left(\xi_i\right)\Delta x_i[/dispmath]
Pošto je [inlmath]f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}[/inlmath], a [inlmath]\Delta x_i=\frac{b-a}{n}[/inlmath],
[dispmath]I=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{\xi_i^2}\cdot\frac{b-a}{n}=\left(b-a\right)\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{\xi_i^2}[/dispmath]
Pošto je [inlmath]\xi_i[/inlmath] geometrijska sredina apscisa krajeva podeljaka[inlmath]\quad\Rightarrow\quad\xi_i^2=x_ix_{i+1}[/inlmath]
[dispmath]I=\left(b-a\right)\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{x_ix_{i+1}}[/dispmath]
[inlmath]x_i[/inlmath] se može prikazati kao [inlmath]x_i=a+i\Delta x_i=a+i\cdot\frac{b-a}{n}[/inlmath]
[dispmath]I=\left(b-a\right)\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{\left(a+i\cdot\frac{b-a}{n}\right)\left[a+\left(i+1\right)\cdot\frac{b-a}{n}\right]}[/dispmath][dispmath]I=\left(b-a\right)\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\cancel n}\sum_{i=0}^{n-1}\frac{n^{\cancel 2}}{\left[na+i\left(b-a\right)\right]\left[na+\left(i+1\right)\left(b-a\right)\right]}[/dispmath][dispmath]I=\left(b-a\right)\lim_{n\to\infty}n\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{\left[na+i\left(b-a\right)\right]\left[na+\left(i+1\right)\left(b-a\right)\right]}[/dispmath]
Izvršimo rastavljanje na parcijalne razlomke:
[dispmath]\frac{1}{\left[na+i\left(b-a\right)\right]\left[na+\left(i+1\right)\left(b-a\right)\right]}=\frac{A}{na+i\left(b-a\right)}+\frac{B}{na+\left(i+1\right)\left(b-a\right)}[/dispmath][dispmath]A\left[na+\left(i+1\right)\left(b-a\right)\right]+B\left[na+i\left(b-a\right)\right]=1[/dispmath][dispmath]\underbrace{\left(A+B\right)na}_0+\left(b-a\right)\left[A\left(i+1\right)+Bi\right]=1[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad A+B=0\quad\Rightarrow\quad B=-A\quad\Rightarrow\quad\left(b-a\right)\left[A\left(i+1\right)-Ai\right]=1[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad A=\frac{1}{b-a}\quad\Rightarrow\quad B=-\frac{1}{b-a}[/dispmath][dispmath]\Rightarrow\quad I=\left(b-a\right)\lim_{n\to\infty}n\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{b-a}\left[\frac{1}{na+i\left(b-a\right)}-\frac{1}{na+\left(i+1\right)\left(b-a\right)}\right][/dispmath][dispmath]I=\cancel{\left(b-a\right)}\cdot\frac{1}{\cancel{b-a}}\lim_{n\to\infty}n\sum_{i=0}^{n-1}\left[\frac{1}{na+i\left(b-a\right)}-\frac{1}{na+\left(i+1\right)\left(b-a\right)}\right][/dispmath][dispmath]I=\lim_{n\to\infty}n\sum_{i=0}^{n-1}\left[\frac{1}{na+i\left(b-a\right)}-\frac{1}{na+\left(i+1\right)\left(b-a\right)}\right][/dispmath]
Zatim razvijemo sumu:
[dispmath]I=\lim_{n\to\infty}n\left[\frac{1}{na}-\cancel{\frac{1}{na+\left(b-a\right)}}+\cancel{\frac{1}{na+\left(b-a\right)}}-\cancel{\frac{1}{na+2\left(b-a\right)}}+\cdots\\
\cdots +\cancel{\frac{1}{na+\left(n-2\right)\left(b-a\right)}}-\cancel{\frac{1}{na+\left(n-1\right)\left(b-a\right)}}+\cancel{\frac{1}{na+\left(n-1\right)\left(b-a\right)}}-\frac{1}{na+n\left(b-a\right)}\right][/dispmath][dispmath]I=\lim_{n\to\infty}\cancel n\left[\frac{1}{\cancel na}-\frac{1}{\cancel na+\cancel n\left(b-a\right)}\right][/dispmath][dispmath]I=\frac{1}{a}-\frac{1}{\cancel a+b-\cancel a}[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{I=\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}[/dispmath]
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 7680
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 4039 puta
Pohvaljen: 4110 puta

Re: Odredjeni integral (definicija limesa sume (Rimanove sume))

Postod milosacimovicmld » Četvrtak, 11. Septembar 2014, 10:37

Neizmerno zahvalan. Ne znam kako da ti se zahvalim. Ne samo da si mi pomogao oko konkretnog zadatka vec si me naucio i vaznu lekciju- da ne odustajem na prvu loptu kad nesto ne izgleda bajno. Puno hvala!
 
Postovi: 38
Zahvalio se: 44 puta
Pohvaljen: 6 puta


Povratak na INTEGRALI

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Nedelja, 18. Avgust 2019, 11:15 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs