Odredjeni integral iracionalne trigonometrijske funkcije

PostPoslato: Petak, 12. Septembar 2014, 19:55
od milosacimovicmld
Odeljak 3.3.4. zadatak 3. knjiga Matematika za IV razred srednje skole
Izracunati sledeci odredjeni integral
[dispmath]\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{4}}\frac{\cos^3x\mathrm dx}{\sqrt[3]{\sin x}}[/dispmath]
Moja ideja je da koristim ovaj rezultat [inlmath]\cos 3x=4\cos^3x-3\cos x\;\Rightarrow\;\cos^3x=\frac{1}{4}(\cos 3x+3\cos x)[/inlmath] onda se integral razdvaja na
[dispmath]\frac{1}{4}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{4}}\frac{\cos 3x\mathrm dx}{\sqrt[3]{\sin x}}+\frac{3}{4}\int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{-\frac{\pi}{4}}\frac{\cos x\mathrm dx}{\sqrt[3]{\sin x}}[/dispmath]
za drugi integral(sabirak) je pogodno koristiti smenu [inlmath]u=\sin x[/inlmath] gde je [inlmath]\mathrm du=\cos x\mathrm dx[/inlmath] ali ovaj prvi ne uspevam da resim.

Re: Odredjeni integral iracionalne trigonometrijske funkcije

PostPoslato: Petak, 12. Septembar 2014, 20:30
od Daniel
Ne bih ja to radio tako. :nene:
[inlmath]\cos^3x[/inlmath] iz brojioca napiši kao [inlmath]\left(1-\sin^2x\right)\cos x[/inlmath], a zatim uvedi smenu [inlmath]\sin x=t[/inlmath].